在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。但在以下几种情况下，需校核梁的剪应力：①最大弯矩很小而最大剪力很大的梁；②焊接或铆接的组合截面梁；③木梁，因为木材在顺纹方向的剪切强度较低，所以木梁有可能沿中性层发生剪切破坏。按强度条件求许用荷载[F]。......
2025-09-29
梁的弯曲强度条件优化
【摘要】：图7-26简支矩形木梁分析：画出梁的弯矩图。根据弯矩图可以看出根据弯曲正应力的强度条件。由图7-27可知，梁中点截面为危险截面，其最大弯矩为由梁的弯曲强度条件经查附录，可选用28b，其Wx=534 cm3。验算梁的强度按有关设计规范，最大工作应力若不超过其许用应力的5%是允许的。已知灰铸铁的Iz=7.56 ×106 mm4，抗拉许用应力[σ] +=39.3 MPa，抗压许用应力[σ] -=58.8 MPa，试校核该梁的强度。根据式故T 形梁强度不足。
与拉伸、压缩杆的强度设计相似，工程设计中，为了保证梁足够安全，梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力。
（1）当材料的拉、压强度相等，即[σ] +=[σ] -=[σ]，等直梁的弯曲强度条件为
（2）当材料的拉、压强度不相等，即[σ] +≠[σ] -，则梁的弯曲强度条件为
案例7-7 如图7-26 所示的简支矩形木梁AB。已知：跨度l=5 m，承受均布载荷q=3.6 kN/m，木材顺纹许用应力[σ]=10 MPa。设梁横截面高度之比为h/b=2，试选择梁的截面尺寸。
图7-26 简支矩形木梁
分析：（1）画出梁的弯矩图。
根据弯矩图可以看出
（2）根据弯曲正应力的强度条件。
横截面为矩形，所以
整理得
因此，可选取h×b=240 mm×120 mm 的矩形截面。
案例7-8 图7-27（a）所示的桥式起重机大梁由工字钢制成，跨长L=10 m，材料的许用应力为[σ]=160 MPa，电动葫芦重G=0.5 kN，最大起吊重量为F=32 kN。试选择工字钢的型号。
分析：（1）选择工字钢的型号。
图7-27 桥式起重机大梁
首先不考虑大梁的自重，起重机大梁的力学模型为如图7-27（b）所示的简支梁。电动葫芦移动到梁跨长的中点，梁中点截面处将产生最大弯矩，图7-27（c）为桥式起重机大梁在电动葫芦G 和最大起吊重量G 作用下的弯矩图。由图7-27（c）可知，梁中点截面为危险截面，其最大弯矩为
由梁的弯曲强度条件
经查附录，可选用28b，其Wx=534 cm3。
（2）选用工字钢后，还要验算大梁自重的影响。梁的自重可以看作是作用于梁上的均布载荷q，经查附录表1 得28b 工字钢的理论重量为其47.888 kg/m，故均布载荷为q=469 N/m。当（F+G）和q 共同作用时[图7-27（d）]，梁的弯矩图可利用叠加原理来分析。如图7-27（e）所示，梁在两种载荷共同作用下的弯矩等于每种载荷单独作用时的弯矩之和。（F+G）和q 单独作用时最大弯矩均出现在中点，因此叠加后最大弯矩仍出现在中点。
验算梁的强度
按有关设计规范，最大工作应力若不超过其许用应力的5%是允许的。故28b 工字钢的强度足够。
案例7-9 由灰铸铁制造的T 形截面外伸梁，受力及截面尺寸如图7-28 所示，其中z轴为中性轴。已知灰铸铁的Iz=7.56 ×106 mm4，抗拉许用应力[σ] +=39.3 MPa，抗压许用应力[σ] -=58.8 MPa，试校核该梁的强度。(https://www.chuimin.cn)
分析：因为梁的截面没有水平对称轴，所以其截面上的最大拉应力和最大压应力不相等。同时梁的材料为灰铸铁，其抗拉许用应力与抗压许用应力亦不相等。因此判断危险截面时，应综合考虑以上因素。
（1）求解外伸梁的支座反力。列解平衡方程
∑MA（F）=0，FB ×2 000 mm-12 kN ×1 000 mm-4.5 kN ×3 000 mm=0
得
FB=12.75 kN
∑Fy=0，FA-12 kN+FB-4.5 kN=0
得
FA=3.75 kN，
图7-28 T 形截面外伸梁
（2）作弯矩图。弯矩图如图7-28（b）所示，其中B、D 两个截面上的弯矩方向不同，如图7-28（c）所示。截面D 为正弯矩最大，截面B 为负弯矩最大。截面B 上弯矩绝对值最大，为可能的危险截面之一。
截面B 弯矩为负，其绝对值为
截面D 弯矩为正，其值为
（3）计算最大拉、压应力。B、D 截面的应力分布见图7-28（c），由于截面B 上的弯矩比截面D 上的弯矩大，所以截面B 上的压应力数值一定比截面D 上的压应力数值大。拉应力两个截面都较大，因为截面B 的弯矩M 虽大，但最大拉应力点的y 值却较小，所以截面D 也可能为危险截面，两个截面上的最大拉应力都要计算，最后比较出最大值。
截面B 最大拉应力和最大压应力作用点到中性轴的距离为
截面D 最大拉应力和最大压应力作用点到中性轴的距离为
对于截面B：最大拉应力为
最大压应力为
对于截面D：最大拉应力为
最大压应力为
经分析比较可知，整个梁上最大压应力发生在B 截面
=52.4 MPa，最大拉应力发生D 截面
=43.7 MPa
（4）强度校核。根据式（7-15）
故T 形梁强度不足。
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