根据以上分析，为了保证拉（压）杆在工作时不致因强度不够而破坏，杆内的最大工作应力σmax不得超过材料的许用应力[σ]，即式即拉（压）杆的强度条件。已知荷载、构件尺寸及材料的许用应力，根据强度条件校核是否满足强度要求。已知构件的横截面面积及材料的许用应力，根据强度条件可以确定杆能承受的最大轴力，即从而即可求出承载力。......
2025-09-30
建筑力学第3版：弯曲正应力及强度计算
【摘要】：横截面上各点均无剪应变，故纯弯曲时，横截面上无剪应力。当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；上部纤维缩短而产生压应力。进一步的研究表明，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。计算C截面上K点的正应力。在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件，即校核是否满足式（9-9）。弯曲正应力强度条件。
1.正应力分布规律
为了解正应力在横截面上的分布情况，可先观察梁的变形，取一弹性较好的矩形截面梁，在其表面画上一系列与轴线平行的纵向线及与轴线垂直的横向线，构成许多均等的小矩形，然后在梁的两端施加一对力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲变形，如图9-21所示，这时可观察到下列现象：
（1）横向线仍为直线，各横向线只是作相对转动，但仍与纵向线正交。
（2）纵向线变为曲线，靠顶面的纵向线缩短，靠近底面的纵向线伸长。
图9-21
（3）在纵向线伸长区，梁的宽度减小；在纵向线缩短区，梁的宽度增大。
根据以上变形现象，可对梁的变形和受力做如下分析和假设：
（1）平面假设：梁的横截面在变形后，仍保持为平面，且仍与梁的轴线正交，只是转了一个角度。横截面上各点均无剪应变，故纯弯曲时，横截面上无剪应力。
（2）单向受力假设：各纵向“纤维”之间无积压或拉伸作用。上部各层纵向纤维缩短，下部各层纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层既不缩短也不伸长，这一过渡层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时横截面就是绕中性轴转动的。
2.正应力计算公式
如图9-22所示，根据理论推导（推导从略），梁弯曲时横截面上任一点正应力的计算公式为
图9-22
式中 M——横截面上的弯矩；
Iz——截面对中性轴的惯性矩；
y——所求应力点至中性轴的距离。
当弯矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力；上部纤维缩短而产生压应力。弯矩为负时，则相反。在用式（9-7）计算正应力时，可不考虑式中M和y的正负号，均以绝对值代入；正应力是拉应力还是压应力可由观察梁的变形来判断。
这里需要说明的是：
（1）式（9-7）除适用于矩形截面梁外，也适用于所有横截面形状对称于y轴的梁，如I形、T形、圆形截面梁等。
（2）式（9-7）是根据纯弯曲的情况导出的，而在实际工程中的梁，大多受横向力作用，截面上剪力、弯矩均存在。进一步的研究表明，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此，对非纯弯曲的情况，式（9-7）也是适用的。
【例9-9】 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端处作用一集中力F，如图9-23所示。已知F＝3kN，h＝180mm，b＝120mm，y＝60mm，l＝3m，a＝2m，求C截面上K点的正应力。
图9-23
【解】 （1）计算截面C的弯矩。
（2）计算截面对中性轴的惯性矩。
（3）计算C截面上K点的正应力。将MC、y（均取绝对值）及Iz代入正应力式（9-7），得
由于C截面的弯矩为负，K点位于中性轴上方，所以K点的应力为拉应力。(https://www.chuimin.cn)
3.弯曲正应力强度条件
通过以上分析，梁的最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处，而该处的剪应力或为零，或很小，因而可看作是处于单向应力状态，所以，梁的弯曲正应力强度条件为
式中 [σ]——单向受力时的许用应力。
对于等截面直梁，则：
如令
，则等直截面梁的弯曲正应力强度条件为
式中 Wz——抗弯截面模量。
Wz取决于截面的形状和尺寸，其值越大，梁的强度就越好。
对矩形截面[图9-24（a）]：
图9-24
对圆形截面[图9-24（b）]：
对于工字钢、槽钢、角钢等截面的抗弯截面模量可从型钢表中查得。
利用强度条件式[式（9-9）]，可以解决以下三种不同类型的强度计算问题：
（1）强度校核。在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件，即校核是否满足式（9-9）。
（2）设计截面。当已知梁的荷载和所用的材料时，可根据强度条件，先计算出所需的最小抗弯截面模量：
然后，根据梁的截面形状，再由Wz值确定截面的具体尺寸或型钢型号。
（3）确定许用荷载。已知梁的材料、横截面形状和尺寸，根据强度条件先计算出梁所能承受的最大弯矩，即
然后，由Mmax与荷载的关系，计算出梁所能承受的最大荷载。
【例9-10】 矩形截面外伸梁，如图9-25所示。已知：h/b＝1.5，[σ]＝10MPa。试选择截面尺寸。
【解】 （1）作梁的弯矩图。由弯矩图知|M|max＝20kN·m，B为危险截面。
（2）弯曲正应力强度条件。
图9-25
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