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圆轴扭转剪应力分布-《建筑力学（第3版）》

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：为解决圆轴扭转的强度问题，在求得横截面上的扭矩之后，还要进一步研究横截面上的应力。在整个横截面上，所有这些微力矩之和应等于该截面的扭矩T，因此将式代入得积分即为横截面的极惯性矩，因而式可改写为将式代入式得这就是圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式。式中，T为横截面上的扭矩；IP为圆截面对圆心的极惯性矩；ρ为所求应力点至圆心的距离。因这里的剪应力正、负无实用意义，一般只计算其绝对值。

为解决圆轴扭转的强度问题，在求得横截面上的扭矩之后，还要进一步研究横截面上的应力。为此，需从几何变形、物理关系和静力平衡关系三个方面综合研究，以便建立横截面上的应力计算公式。

1.几何方面

从图8-14（a）所示的圆轴中取一微段dx，并从中切取一楔形体O1O2ABCD[图8-14（b）]，则其变形如图8-14（c）所示。圆轴表层的矩形ABCD变为平行四边形ABC′D′；与轴线相距为ρ的矩形abcd变为平行四边形abc′d′，即产生剪切变形。

此楔形体左、右两端面之间的相对扭转角为dφ，矩形abcd的剪应变用γρ表示，则由图8-14中可以看出

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即

式中，是扭转角φ沿杆长的变化率，即单位长度的扭转角，通常用θ表示，即θ＝。

于是

对于同一横截面，θ为一常数，可见剪应变γρ与ρ成正比，且沿圆轴的半径按直线规律变化。

2.物理方面

由剪切胡克定律可知，在弹性范围内剪应力

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图8-14

将式（8-10）代入上式，得到横截面上与轴线相距为ρ处的剪应力为

式（8-11）表明，在横截面上任一点处的剪应力的大小，与该点到圆心的距离成正比。在圆心处剪应力为零，距圆心越远剪应力越大，距圆心等距离的圆周上各点的剪应力相等，在周边上各点的剪应力最大。剪应力沿直径线的变化规律如图8-15所示。

3.静力学方面

上面已解决了横截面上剪应力的变化规律，但还不能直接按式（8-10）来确定剪应力的大小，这是因为与扭矩T间的关系尚不清楚。这可从静力学方面来解决。

如图8-16所示，在与圆心相距为ρ的微面积dA上，作用有微剪力τρdA，它对圆心O的微力矩为ρτρdA。在整个横截面上，所有这些微力矩之和应等于该截面的扭矩T，因此

将式（8-11）代入得

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积分 pagenumber_ebook=119,pagenumber_book=107 即为横截面的极惯性矩，因而式（8-12）可改写为

将式（8-13）代入式（8-11）得

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这就是圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式。式中，T为横截面上的扭矩；IP为圆截面对圆心的极惯性矩；ρ为所求应力点至圆心的距离。

由式（8-14）可知，τ与ρ成正比，离圆心越远，τ值越大，圆心处τ＝0。剪应力在横截面上的分布规律如图8-17（a）所示。

实践证明，以上实心圆轴扭转的应力计算公式对空心圆轴也适用，如图8-17（b）所示。只是空心圆轴的极惯性矩IP与实心圆轴的不同。

实心圆轴和空心圆轴的极惯性矩分别为

实心圆轴

空心圆轴

D和d分别为圆形空心截面的外直径和内直径。

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图8-15

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图8-16

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图8-17

【例8-3】　如图8-18所示，受扭圆杆的直径d＝60mm，试求截面1—1上K点的剪应力。

【解】　截面1—1上的扭矩为－2kN·m，K点的剪应力为

计算τ时，扭矩T以绝对值代入。因这里的剪应力正、负无实用意义，一般只计算其绝对值。另外，应注意单位：T的单位为N·m，d和ρ的单位为m，算得的τ为MPa。

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图8-18