圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力τmax不得超过材料的许用切应力[τ]，即式称为圆轴扭转时的强度条件。对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩Tmax，最大切应力τmax发生于Tmax所在截面的边缘上。因而强度条件可改写为对于变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，Wt不是常量，τmax并不一定发生在扭矩为极值Tmax的截面上，这要综合考虑扭矩T和抗扭截面系数Wt两者的变化情况来确定τmax。......
2025-09-29
圆轴的扭转变形分析方法和优化措施
【摘要】：本章主要讨论圆轴扭转时应力和变形的分析计算方法，以及强度和刚度计算。杆间任意两截面间的相对角位移，称为扭转角。为了清楚地看出各截面上扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。
1.圆轴扭转的概念与实例
在工程中，常会遇到直杆因受力偶作用而发生扭转变形的情况。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反力偶作用在丝锥杆的下端，使得丝锥杆发生扭转变形，如图3－45 所示。如图3－46 所示的汽车转向盘的操纵杆，以及一些传动轴等均是扭转变形的实例。以扭转为主要变形的构件常称为轴，其中圆轴在机械中的应用为最广。本章主要讨论圆轴扭转时应力和变形的分析计算方法，以及强度和刚度计算。
图3-45 丝锥杆
图3-46 汽车转向盘
一般扭转杆件的计算简图如图3－47 所示，其受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面内，作用着一对大小相等、转向相反的力偶。其变形特点是：杆件的各横截面绕杆轴线发生相对转动，各纵向线都倾斜了同一个微小角度且杆轴线始终保持直线，这种变形称为扭转变形。杆间任意两截面间的相对角位移，称为扭转角。图3－47 中的φAB是截面B 相对于截面A 的扭转角。
2.扭矩和扭矩图
（1）外力偶矩的计算
为了利用截面法求出圆轴扭转时截面上的内力，要先计算出轴上的外力偶矩。作用在轴上的外力偶矩一般不是直接给出，而是根据所给定轴的传递功率和转速求出来的。功率、转速和外力偶矩之间的关系可由动力学知识导出，其公式为
图3-47 扭转及扭转角
式中，M 为外力偶矩（N·m），P 为轴传递的功率（kW），n 为轴的转速（r／min）。
（2）扭矩和扭矩图
若已知轴上作用的外力偶矩，则可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。如图3－48（a）所示，等截面圆轴AB 两端面上作用有一对平衡外力偶矩M。在任意m－m 截面处将轴分为两段，并取左段为研究对象，如图3－48（b）所示。因A 端有外力偶矩M 作用，为保持左段平衡，故在m－m 截面上必有一个内力偶矩T 与之平衡，T 称为扭矩，单位为N·m。由平衡方程
得T＝M。
若取右段为研究对象，则所得扭矩数值相同而转向相反，它们是作用与反作用的关系。
为了使不论取左段还是右段求得的扭矩的大小、符号都一致，对扭矩的正、负号规定如下：
用右手螺旋法则，大拇指指向横截面外法线方向，当扭矩的转向与四指的转向一致时，扭矩为正，反之为负，如图3－49 所示。在求扭矩时，在横截面上均按正向画出，所得为负，则说明扭矩转向与假设相反，此为设正法。
图3-48 截面法确定圆轴横截面上的扭矩
图3-49 扭矩符号的确定
当轴上作用有多个外力偶矩时，须以外力偶矩所在的截面将轴分成数段，逐段求出其扭矩。为了清楚地看出各截面上扭矩的变化情况，以便确定危险截面，通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形，称为扭矩图。作图时，以横坐标表示各横截面的位置、纵坐标表示扭矩。
（3）扭矩图的快速画法
扭矩图也可根据扭矩、扭矩图随外力偶的变化规律快速作出。
1）扭矩、扭矩图随外力偶的变化规律。
①在没有外力偶作用处，扭矩是常数，扭矩图是水平线。
②在有外力偶作用处，扭矩图有突变，突变量等于外力偶。
2）扭矩图的快速画法。
①先求出约束力偶，约束力偶与外力偶同等看待。
②以构件左端为原点，x 轴表示轴线，垂直于轴线的轴表示扭矩T。
③假设箭头向上的外力偶产生正的扭矩（扭矩图在该处垂直向上突变，突变量等于该外力偶），箭头向下的外力偶产生负的扭矩（扭矩图在该处垂直向下突变，突变量等于该外力偶），如图3－50（b）所示。
图3-50 转轴
④根据扭矩、扭矩图的变化规律画出扭矩图。
【例3-13】 如图3－50（a）所示，转轴的功率由皮带轮B 输入，齿轮A、C 输出。已知PA＝60 kW，PC＝20 kW，转速n＝630 r／min，绘制转轴的扭矩图并求最大扭矩。
解：1）计算外力偶矩，由式（3－26）得MA＝9 550PA／n＝9 550 ×60／630＝909.52（N·m），MC＝9 550PC／n＝9550 ×20／630＝303.17（N·m）因为ΣM＝0，所以
2）用扭矩图的快速画法画出转轴的扭矩图，如图3－50（b）所示。
3）求最大扭矩。由图3－50（b）扭矩图可知：最大扭矩在AB 段内，且绝对值为
＝909.52 N·m。
3.圆轴扭转时横截面的应力计算
（1）圆轴扭转时横截面上的应力
应力与变形有关，如图3－51 所示，先在一个未加载荷的圆轴上画上间隔均匀的横向线和纵向线，然后加载使其发生扭转变形，可以发现：各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化，各圆周线绕轴线转到了不同的角度，所有纵向线都倾斜了同一个角度γ。
图3-51 圆轴扭转变形
（a）变形前；（b）变形后
由上述现象可以看出：圆轴扭转变形后轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。由此可以得出：
1）扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有发生纵向变形，所以横截面上没有正应力。
2）扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度，所以横截面上有剪应力，其方向必垂直于半径。
圆轴扭转时，横截面上距离圆心为ρ 处的剪应力
ρ 的一般公式为
式中，T 为扭矩（N·m），IP 为横截面的极惯性矩（m4），ρ 为从欲求剪应力的点到横截面圆心的距离。
显然，当ρ＝0 时，
ρ＝0；当ρ＝D／2 时，剪应力最大，
，D 为圆柱直径。
扭转变形时，横截面上各点剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，如图3－52所示。
令WP＝2IP／D，则有(https://www.chuimin.cn)
式中，WP 为抗扭截面系数（m3）。
（2）极惯性矩和抗扭截面系数
1）实心圆截面。
对于直径为D 的实心圆截面，取一距离圆心为ρ、厚度为dρ 的圆环作为微面积dA，如图3－53（a）所示，则
图3-52 剪应力分布示意图
（a）实心圆截面剪应力分布；（b）空心圆截面剪应力分布
图3-53 极惯性矩的计算
（a）实心圆截面；（b）空心圆截面
于是
所以
2）空心圆截面。
对于内径为d、外径为D 的空心圆截面，如图3－53（b）所示，其极惯性矩可以采用与实心圆截面相同的方法求出，即
式中，α＝
，表示内、外径的比值。
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
（1）圆轴扭转时的强度计算
为保证圆轴扭转时具有足够的强度而不被破坏，必须限制轴的最大剪应力不得超过材料的扭转许用剪应力。对于等截面圆轴，其最大剪应力发生在扭矩值最大的横截面（称为危险截面）的外边缘处，故圆轴扭转的强度条件为
式中，扭转许用剪应力是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。
与拉压强度问题相似，式（3－33）可以解决强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等3 种扭转强度问题。
【例3-14】 阶梯轴如图3－54 所示，M1＝5 kN·m，M2＝3.2 kN·m，M3＝1.8 kN·m，材料的许用切应力［
］＝60 MPa。试校核该轴的强度。
解：1）作扭矩图。用扭矩图快速画法作出扭矩图，如图3－54（b）所示，可得TAB＝－5 kN·m，TBC＝－1.8 kN·m。
2）校核轴的强度。因AB、BC 段的扭矩、直径各不相同，故需分别校核。
AB 段：
图3-54 阶梯轴
故AB 段的强度是安全的。
BC 段：
故BC 段的强度不够。
综上所述，阶梯轴的强度不够。
在求
max时，T 取绝对值，其正、负号（转向）对强度计算无影响。
（2）圆轴扭转时的刚度计算
如前所述，圆轴扭转时的变形是用扭转角来度量的。扭转角就是圆轴扭转时，横截面绕轴线相对转过的角度φ，其计算公式为
式中，G 为剪切弹性模量（Pa），l 为轴的长度（m）。
为了消除轴的长度对扭转角的影响，可采用单位长度内的扭转角θ 来度量轴的扭转变形，即
轴类零件工作时，除应满足强度条件外，经常还有刚度要求，即不允许有较大的扭转变形。通常以下列表示式为其刚度条件，即
式中，θmax为最大单位长度扭转角（rad／m）；Tmax为圆轴上的最大扭矩（N·m）；［θ］为许用单位长度扭转角，习惯上以度／米为单位，记为（°）／m，故在使用式（3－36）时，要将θmax的单位换算成（°）／m，则式（3－36）变为
不同类型轴的扭转角［θ］的值，可从有关工程手册中查得。
【例3-15】 一传动轴，承受的最大扭矩Tmax＝183.6 N·m，按强度条件设计的直径为d＝31.5 mm。若已知G＝80 GPa，［θ］＝1°／m，试求校核轴是否满足刚度要求。若刚度不足，则重新设计轴的直径。
解：1）校核轴的刚度。因
所以，不满足刚度要求。
2）按刚度条件再设计轴的直径。由
所以，取d＝34 mm。
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