下面举例说明列剪力方程、弯矩方程及绘制剪力图、弯矩图的方法。图9-10所示的简支梁，试作梁的剪力图和弯矩图。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。列弯矩方程，画弯矩图。......
2025-09-30
《建筑力学（第3版）》探索简易法作梁的内力图
【摘要】：在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，其突变值等于该集中力偶的大小。某外伸梁如图9-15所示，已知l＝4m，试用简易法绘制此梁的剪力图和弯矩图。AB段梁上有均布荷载，该段梁的剪力图为斜直线，通过画出该斜直线。该段梁的弯矩图为二次曲线。
1.荷载集度q、剪力Q与弯矩M之间的微分关系
由于内力是由梁上的荷载引起的，而荷载集度、剪力和弯矩又都是x的函数，因此，三者之间一定存在着某种联系，下面具体推导三者之间的关系。
如图9-13（a）所示，梁上作用有任意的分布荷载q（x）；设q（x）以向上为正，向下为负，取梁中的微段来研究。在距左端为x处，截取长为dx的微段梁，该微段梁左侧横截面上的剪力和弯矩分别为Q（x）和M（x），右侧横截面上的剪力和弯矩则分别为Q（x）＋dQ（x）和M（x）＋dM（x）。此微段梁除两侧面存在剪力、弯矩外，在上面还作用有分布荷载。由于dx很微小，可不考虑q（x）沿dx的变化而在微段上将其看成均布荷载。
梁处于平衡状态，截取的微段梁也应该是平衡的。由平衡方程
图9-13
经整理得：
结论一：梁上任意一横截面上的剪力对x的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。
由
＝0（矩心O取在右侧截面的形心处），得：
略去式中的二次微量项
q（x）·（dx）2，经整理得：
结论二：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。
由式（9-5）和式（9-4）又可得
结论三：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是，弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度，即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。
2.用微分关系法绘制剪力图和弯矩图
利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。
（1）梁上无分布荷载，即q（x）＝0的情况：剪力图为一平直线，弯矩图为一斜直线。
由式（9-4）可知，Q（x）是常数，即剪力图是一条平行于x轴的直线；又由式（9-5）可知该段弯矩图上各点切线的斜率为常数，因此，弯矩图是一条斜直线。
（2）梁上有均布荷载，即q（x）＝q0（常数）的情况：剪力图为一斜直线，弯矩图为二次抛物线。当均布荷载向下时，弯矩图为向下凸的曲线；当均布荷载向上时，弯矩图为向上凸的曲线，如图9-14所示。
图9-14
（3）在梁的某段上，若剪力为正值，弯矩曲线下降；若剪力为负值，弯矩曲线上升；若剪力图下降，弯矩图向下凸；若剪力图上升，弯矩图向上凸。
（4）在弯矩图上对应于截面剪力为零的点，存在弯矩极值。
（5）在集中力作用处，剪力图发生突变，突变量等于集中力的大小；弯矩图发生转折，并出现尖角。在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图有突变，其突变值等于该集中力偶的大小。(https://www.chuimin.cn)
（6）最大弯矩的绝对值，可能在Q（x）＝0的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处。
根据以上规律，如果已知梁上的外力情况，则可知道内力图的形状，并可用控制截面将梁分成几段，只要计算出各控制截面的剪力和弯矩值，就可以画出梁的内力图，而不必列出内力方程。这种方法一般称为控制截面法，或称简易法。
用简易法绘制梁内力图的步骤如下：
（1）分段，即根据梁上外力及支承等情况将梁分成若干段；
（2）根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；
（3）利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的Q值和M值；
（4）逐段直接绘出梁的Q图和M图。
【例9-6】 某外伸梁如图9-15（a）所示，已知l＝4m，试用简易法绘制此梁的剪力图和弯矩图。
图9-15
【解】 首先，求出支反力。其结果为
画剪力图和弯矩图时，需根据梁上的外力情况将梁分段，逐段画出。此题应将梁分为AB、BC和CD三段。
（1）剪力图。AB段梁上有均布荷载，该段梁的剪力图为斜直线，通过
画出该斜直线。
BC段和CD段均为无外力段，两段的剪力图均为水平线，通过
分别画出两段水平线。梁的剪力图如图9-15（b）所示。
（2）弯矩图。AB段梁上有均布荷载。该段梁的弯矩图为二次曲线。因q向下（q＜0），所以曲线凹向上，通过
画出此曲线的大致图形。
BC段和CD段均为无外力段，两段的弯矩图均为斜直线，通过
分别画出两条斜直线。
梁的弯矩图如图9-15（c）所示。
从以上过程看到，对于本题，只需计算出QB左、QBC、QCD和MB、MC就可画出梁的剪力图和弯矩图。此种方法远比列剪力方程、弯矩方程再作图的方法简便。
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