辅助球面法：理解与应用

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：图5-14球与回转体相贯根据以上原理，可以用球面作辅助面求相贯线，此即辅助球面法。图5-15圆柱体与圆锥体相贯分析参与相贯的圆锥体、圆柱体都是回转体，它们的轴线相交且平行于正面，所以可以用辅助球面法求相贯线。作图确定辅助球面半径的范围。当然，由于难以控制辅助球面产生共有点的位置，相贯线上的某些特殊点不能准确求出，如本例中相贯线上的最左、最右两点的投影。

球与任意回转体表面相交，只要球心位于回转体的轴线上，它们的相贯线就是一平面曲线——圆，并且该圆所在的平面与回转体的轴线垂直。若回转体的轴线平行于某投影面，则相贯线在该投影面上的投影积聚成一直线段。如图5-14所示，该直线段就是球面轮廓线与回转体轮廓线交点的连线。

图5-14　球与回转体相贯

根据以上原理，可以用球面作辅助面求相贯线，此即辅助球面法。使用辅助球面法的条件是，参与相贯的两形体均为回转体，其轴线相交且同时平行于某一投影面。

例5-4　求圆锥体与圆柱体的相贯线，如图5-15所示。

图5-15　圆柱体与圆锥体相贯

分析　参与相贯的圆锥体、圆柱体都是回转体，它们的轴线相交且平行于正面，所以可以用辅助球面法求相贯线。它们的相贯线是前、后对称的。

辅助球面的球心为两回转体轴线的交点。以此交点为球心，作一大小合适的辅助球面，分别与圆柱体、圆锥体相交，球面与它们的相贯线都是圆且在正面上的投影积聚成一条垂直于轴线的直线，此两直线的交点为三个曲面的共有点，即相贯线上的点。

作图　（1）确定辅助球面半径的范围。最小半径R1为圆锥体内切球的半径。最大半径R2为主视图上球心到两回转体轮廓线交点距离中的大者。(https://www.chuimin.cn)

（2）求相贯线上的特殊点的投影。最高、最低点的正面投影为两轮廓线的交点，即1'、2'。根据“长对正”求出水平投影1、2，如图5-15（a）所示。

（3）以R1为半径作球，分别与两形体相交，交线的正面投影为a'b'、c'd'，它们的交点为3'（4'）。过3'（4'）作水平面与圆锥相交，交线为圆，在俯视图上反映实形，根据“长对正”求出3、4，如图5-15（a）所示。

（4）求一系列的中间点。在R1、R2之间取半径为R的辅助球，求出一系列的中间点，如图5-15（b）所示。

（5）光滑连接1'、3'、5'、2'等点，与圆柱体的轴线交于点7'和点8'，根据“长对正”求出相应的水平投影点7和点8。

（6）光滑连接点7、3、1、4、8和点8、6、2、5、7。

（7）补全轮廓线。俯视图上圆柱体的轮廓线画到7、8两点处，圆锥体轮廓线中被圆柱体遮挡的部分用细虚线表示，如图5-15（b）所示。

采用辅助球面法时只在一个投影面上作图就可求出相贯线。如例5-4中的圆锥体与圆柱体相贯，只给出一个主视图就可以直接求出它们的相贯线。当然，由于难以控制辅助球面产生共有点的位置，相贯线上的某些特殊点不能准确求出，如本例中相贯线上的最左、最右两点的投影。因此，在只需画出一个视图或不宜采用辅助平面的情况下，辅助球面法有其独特的作用。

辅助球面法：理解与应用

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