解决垂直问题：异面直线的最短距离

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：这也是图解垂直问题的重要几何依据。例3-38过点K作一平面垂直于已知△ABC平面。垂直问题中的一个典型问题是求两条异面直线的最短距离的问题。例3-39求作两条异面直线AB和CD之间的垂线KL。图3-78求两异面直线间的距离图3-79用换面法求两异面直线间的距离

1.直线与平面垂直

若一直线垂直于平面，则此直线必垂直于平面内所有直线，其中包括平面内的正平线和水平线。

根据初等几何学中直角投影定理可知，如果直线垂直于某一平面，则其投影图具有以下投影特性：

（1）直线的正面投影垂直于该平面内正平线的正面投影；

（2）直线的水平投影垂直于该平面内水平线的水平投影。

这也是图解垂直问题的重要几何依据。

例3-37　过点K作一直线垂直于△ABC，并求出其垂足L（见图3-75）。

图3-75　过点作已知平面的垂线并求垂足

作图　如图3-75（b）所示。

（1）过点c'作平面内的水平线的正面投影c'd'，过点a作平面内正平线的水平投影ae；

（2）求出水平线的水平投影cd和正平线的正面投影a'e'；

（3）根据直角投影特性作出平面的垂线的正面投影和水平投影；

（4）最后用直线与平面求交点的方法求出垂足L的正面投影l'和水平投影l。

2.平面与平面垂直

若直线与一平面垂直，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面。

由此可见，直线与平面垂直问题是解决平面与平面垂直问题的基础。

例3-38　过点K作一平面垂直于已知△ABC平面。

作图　本例可采取两种作图方法。

方法一：如图3-76（a）所示。

（1）在△ABC平面中取水平线和正平线，并求出其投影；

（2）过点k'作直线KL的正面投影k'l'，使其垂直于正平线的正面投影；(https://www.chuimin.cn)

（3）在水平投影上，过点k作kl垂直于水平线的水平投影，则直线KL垂直于△ABC；

（4）包含直线KL所作任一平面均为所求，所以本题有无穷多个解。

图3-76　过点作平面垂直于已知平面

方法二：如图3-76（b）所示。

（1）在△ABC平面上任取一直线AC；

（2）过点K作一由水平线和正平线组成的平面，该平面垂直于AC；

（3）所作的过点K的平面即为所求垂直于△ABC的平面。

由于AC为已知平面内任一直线，故用方法二也可以得出无穷多个解。

垂直问题中的一个典型问题是求两条异面直线的最短距离的问题。所谓最短距离，实质上是求两条异面直线之间的公垂线。这一问题有着广泛的工程应用背景，最具代表性的问题是求两层交叉管道之间连接管路的位置问题，如图3-77（a）所示。

例3-39　求作两条异面直线AB和CD之间的垂线KL。

图3-77　两异面直线间的距离

分析　假设公垂线已经求出，如图3-77（b）所示，显然，过直线CD可作一平面P与直线AB平行。其方法是过直线CD上任一点，例如点C，作一直线CE平行于直线AB；而过直线AB可以并且只能作一平面Q与平面P垂直，其方法是过直线AB上任一点，例如点A，作AF垂直于平面P且交平面P于点F，然后过点F作FG∥CE，交直线CD于点K，再过点K作KL∥AF，KL即为所求的异面直线之间的公垂线。这种预先假设答案再来分析求解的解题方法称为逆推法。这样，可以得到如图3-78所示的作图过程。

作图　（1）过点C作CE∥AB，得△CDE平面；

（2）过点A向△CDE作垂线AF，并求出垂足F；

（3）过点F作FG∥CE，与CD交于点K；

（4）过点K作KL∥AF，且交直线AB于点L；

（5）公垂线KL即为所求。

本例的另一种解法是换面法（见图3-79）。试设想，如果两条异面直线中有一条是某投影面的垂直线，那么，这条直线在该投影面上的投影将积聚为一点。并且，此时公垂线与另一条直线在该投影面上的投影反映直角（请读者思考原因）。

图3-78　求两异面直线间的距离

图3-79　用换面法求两异面直线间的距离

解决垂直问题：异面直线的最短距离

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