截平面与球面的相交情况分析

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：平面与球面的截交线总是圆，但由于截平面与投影面的相对位置不同，则截交线圆的投影可以是直线、圆或椭圆。当截平面与投影面平行时，截交线圆的投影反映实形，其另两投影则重影成长度等于该圆直径的直线段。求正垂面P与球面的截交线，如图4-13所示。图4-12判断截交线的可见性解：截交线为正垂面内的一圆周，其正面投影积聚在PV上，截交线的水平投影和侧面投影皆为椭圆。

平面与球面的截交线总是圆，但由于截平面与投影面的相对位置不同，则截交线圆的投影可以是直线、圆或椭圆。

当截平面与投影面平行时，截交线圆的投影反映实形，其另两投影则重影成长度等于该圆直径的直线段。

当截平面与投影面倾斜时（在此指截平面为投影面的垂直面），截交线圆在投影面上的投影为椭圆，椭圆的长轴是截交线圆中平行于该投影面直径的投影，而短轴则为截交线圆中处于截平面对该投影面最大斜度线位置上直径的投影。

【例4-4】　求正垂面P与球面的截交线，如图4-13所示。

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图4-12　判断截交线的可见性

解：截交线为正垂面内的一圆周，其正面投影积聚在PV上，截交线的水平投影和侧面投影皆为椭圆。

作图步骤：

（1）求特殊点，如图4-14所示。

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图4-13　正垂面与球相交(https://www.chuimin.cn)

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图4-14　求特殊位置点

1）各投影轮廓线上的点。在正面投影中可直接找到球面投影轮廓线与截平面P的交点1′和2′。由1′、2′向下引投影连线与正面投影轮廓线的水平投影相交得1、（2），由1′、2′向侧面引投影接线与正面投影轮廓线的侧面投影相交，得（1″）、2″；找出球面水平投影轮廓线与截平面P的交点5、6；正面投影中圆的水平中心线与PV的交点5′、（6′），就是球面水平轮廓线与截平面交点的正面投影，其水平投影5、6两点必在球面水平投影的轮廓圆上，可直接由5′、（6′）向下引投影连线找到，然后再由水平投影找出其侧面投影5″和6″；球面侧面投影轮廓线与截平面P的交点7″、8″，其求法与求水平投影轮廓线上的交点相似。根据正面投影上的7′、（8′），先找出其侧面投影7″、8″，然后再求其水平投影7、8。

2）椭圆长、短轴的端点。截交线圆内的直径1′2′是对水平面和侧平面的最大斜度线，其水平投影和侧面投影恰是这两个投影中椭圆的短轴。而在截交线圆内将短轴垂直平分的另一长轴直径则应是一条正垂线，其正面投影位置在椭圆正面投影（直线1′2′）的中点3′、（4′）处；它的水平投影和侧面投影都反映截交线圆的直径实长。因此，过正面投影中3′、（4′）处；它的水平投影和侧面投影都反映截交线圆的直径实长；过正面投影中3′、（4′）作辅助纬圆，即可求得3、4和3″、4″。

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