解析函数是指在某个区域内可导的函数,它在理论和实际问题中应用广泛,具体定义如下：定义2 若函数f(z)在点z0的某个邻域内(包含点z0)处处可导,我们称f(z)在点z0处解析,也称它在z0全纯或正则,并称z0 是f(z) 的解析点,若函数f(z)在点z0处不解析,则称点z0 是f(z)的奇点; 若函数f(z)在区域D内的每一点都解析,则称函数f(z)在区域D内解析,或称f(z)是区域D内的解析函数......
2025-09-30
幂函数的规定及性质-复变函数及其应用
【摘要】：定义3 设α是任意一个复数,定义幂函数为w =zα =eαLnz(z 0).在α为正实数时,对z =0的情况进行规定：zα =0.幂函数是指数函数与对数函数的复合函数,根据对数函数的定义,有w =zα =eαLnz =eα(ln z+2kπi) =eα ln z·e2αkπi,(k为整数)由于Lnz = ln z+2kπi是多值的,所以w = zα也是多值的,且所取的不同数值的个数等于e2αkπi
定义3 设α是任意一个复数,定义幂函数为
w =zα =eαLnz(z 
0).
在α为正实数时,对z =0的情况进行规定：zα =0.幂函数是指数函数与对数函数的复合函数,根据对数函数的定义,有
w =zα =eαLnz =eα(ln z+2kπi) =eα ln z·e2αkπi,(k为整数)
由于Lnz = ln z+2kπi是多值的,所以w = zα也是多值的,且所取的不同数值的个数等于e2αkπi 所取的不同数值的个数.当α取不同的值时,幂函数有以下几种情形：
(1) 当α=n为正整数时,w =zα =zn 是单值函数.
(2) 当α=-n(n为正整数)时,w =zα =
也是单值函数.
(3) 当
(n为正整数)时,w =zα = 
是根式函数,且(https://www.chuimin.cn)
它在k =0,1,··· ,n-1时取不同的值,是具有n个分支的多值函数.
(4) 当α = 
(m和n为互质的整数,n ＞0)时,zα = 
它在k =0,1,··· ,n-1 时取不同的值,是具有n个分支的多值函数.
(5) 当α是无理数或复数时,w =zα是无穷多值的,且
下面讨论幂函数的解析性.
由于对数函数Lnz的每个单值分支在除去原点与负实轴的z平面内是解析的,所以幂函数w =zα 的每个单值分支在除去原点与负实轴的z平面内也是解析的,并且
例4 计算
和(1+i)i的值.
解
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2025-09-30
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2025-09-29
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