复变函数及应用：平面点集、区域

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：|z-1|＜|z+3|; -1 ＜arg z ＜-1+π;0 ＜arg(z-1)＜,且Rez ＜3; 2 ≤|z|≤3;Imz ≤2; |3z+i|＜3;|z+2|+|z-2|≤6; 1 ＜|z-i|＜3.解是无界单连通区域；是无界单连通区域；是有界的单连通域；有界的多连通闭区域；是无界单连通闭区域；有界单连通区域；是有界闭区域,不是区域；是有界多连通区域.

上面提到的复平面上的直线、圆周等曲线都是复平面上的点集,以下介绍平面点集的几个基本概念.

(1)邻域

定义3 设z0是复平面上的一点,δ是任意的正数.我们称以z0为中心,δ为半径的圆内部的点集{z||z-z0| ＜δ}为z0的一个δ邻域,记作U(z0;δ).若不强调半径大小时,可简称为z0的邻域,简记为U(z0).称满足不等式0 ＜|z-z0|＜δ 的点集为z0一个的去心邻域,简记为˚U(z0).

(2)点与点集的关系

定义4 设E为平面上的一个点集,z0为E内一点,若存在z0 的邻域U(z0),使得U(z0) ⊂E,我们称z0为E的内点.若存在z0 的邻域U(z0),使得U(z0)∩E = Ø,则称z0为E的外点.若z0不是E的内点,也不是E的外点,则称z0为E的界点或边界点.E的所有边界点组成E的边界,记作∂E.

显然，若z0是E的一个内点,则z0 ∈E,反之则不一定成立; 若z0是E的一个外点,则z0 pagenumber_ebook=24,pagenumber_book=15 E,反之,若点z0 /∈E,则z0 必不是E的内点,但z0未必是E的外点,可能为E的边界点,边界点z0可以属于集合E,也可以不属于集合E.

为更好地理解内点、外点、边界点的定义,给出下面一个例子.

例3 设E = {z|z = x+iy,0 ＜x ＜1,0 ≤y ≤1},这是一个包含上下两条边,而不包含左右两条边的正方形.可知满足0 ＜x ＜1,0 ＜y ＜1的点z =x+iy为E 的内点; 正方形的每一条边（无论是否属于E）都是E的界点; 除E 的内点与界点以外的点都是E 的外点.

(3)开集、连通集及区域

定义5 若点集E中的每个点都是它的内点,则称E为开集.

定义6 设E为平面上的一个点集,z0为平面上的任意一点.若对于任意的δ ＞0,点z0 的去心邻域 pagenumber_ebook=24,pagenumber_book=15 (z0) 内总有E中的点,则我们称z0为E的一个聚点.E的全体聚点组成的集合记为E′.若z0 ∈E,但不是E的聚点,称z0为E的一个孤立点.

定义7 若点集E的聚点的集合包含在E 中,即E′ ⊂E,我们称E为闭集.

例如,单位圆{z||z| ＜1}是开集,带边的单位圆周{z||z| ≤1}是一个闭集,对于后者,单位圆周{z||z|=1}上的点不是它的内点.

在解析函数论中，最常用的集合是区域.

定义8 若点集E的中任意两个点都可以用一条完全属于E的折线连起来,则称E为连通集.

定义9 若点集E是连通开集,则称点集E为区域.我们称区域E连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域,记为 pagenumber_ebook=24,pagenumber_book=15 .

区域的边界通常由平面上一条或几条光滑曲线和一些孤立点组成,所围的部分（不包括这些曲线）是区域,所围部分的外部（不包括这些曲线）也是区域.特别是一个圆的内部,或外部都是区域.一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分（不包括直线）都是区域.在一个区域内挖掉有限个点剩下的部分是区域.(https://www.chuimin.cn)

(4)有界集与无界集

定义10 若点集E能完全包含在以原点为中心,以某一个正数R为半径的圆域内,则我们称E 是有界集.不是有界的集合,称为无界集.

例如,单位圆{z||z| ＜1}是有界集,上半平面{z|Imz ＞0}、角域{z|0 ＜arg z ＜φ}等都是无界集.

(5)单连通域与多连通域

一条简单闭曲线C可把整个复平面分为三个互不相交的点集.曲线C是其中一个点集,它们以C为边界,除去曲线C以外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C 的外部.环域{z|r ＜|z| ＜R}(r ＞0)从直观上,它的内部有一个”洞”,为了严格刻画这种区域,引入单连通域与多连通域的概念.

定义11 设E是平面上的一个区域,若属于E的任何简单闭曲线的内部总完全属于E,则称E为单连通域,非单连通域称为多连通域.

圆域是单连通域,圆域内挖掉有限个点,余下的部分是多连通域.圆环的内部是多连通域.

例4 说出下列点集是否为区域,是否有界,是否单连通？

(1)|z-1|＜|z+3|; (2)-1 ＜arg z ＜-1+π;

(3)0 ＜arg(z-1)＜ pagenumber_ebook=25,pagenumber_book=16 ,且Rez ＜3; (4)2 ≤|z|≤3;