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平面任意力系的平衡方程及应用

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：平面一般力系平衡的充分与必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。上式称为平面一般力系的平衡方程，平面一般的平衡方程有三个，可求解最多三个未知量。显然各力作用线在同一平面内且任意分布，属于平面一般力系。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。比如，平面任意力系只能列出三个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列两个；平面力偶系只能列一个；对于由n 个物体组成的系统，可列出3n 个。

1.平面任意力系的平衡方程

现在讨论静力学中最重要的情形，即平面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形：

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显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O 的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式（3-20）为平面一般力系平衡的充分条件。

由上一节分析结果可见：若主矢和主矩有一个不等于零，则力系应简化为合力或合力偶；若主矢与主矩都不等于零时，可进一步简化为一个合力。上述情况下力系都不能平衡，只有当主矢和主矩都等于零时，力系才能平衡，因此，式（3-20）又是平面一般力系平衡的必要条件。

平面一般力系平衡的充分与必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。将式（3-20）改写成为力的投影形式，得到：

（1）基本形式

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由此，可以得出结论，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和为零，且各力对任意一点矩的代数和也等于零。

上式（3-21）称为平面一般力系的平衡方程，平面一般的平衡方程有三个，可求解最多三个未知量。用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。平衡方程的形式还有二力矩式和三力矩式两种形式。

（2）二力矩式平衡方程

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其中A、B 的连线不能与x 轴（或y 轴）垂直。

（3）三力矩式平衡方程

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其中A、B、C 的连线不能在同一条直线上。

案例3-11 无重水平梁的支撑和载荷如图3-34（a）所示。已知F=qa，力偶矩M=qa2，求支座A 和B 处的约束力。

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图3-34　无重水平梁

分析：

（1）选AB 梁为研究对象，进行受力分析，画受力图，如图3-34（b）所示。B 处为一活动铰链，约束反力FB 向上；A 处是固定铰链，有两个力FAx、FAy，因为其他力在x 轴上均没有投影，所以水平分力FAx为零，故A 处只有一个竖直的力FAy，可假设方向竖直向上。于是，各力组成平面平行力系。

（2）建立坐标系Axy，列平衡方程

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（3）解方程

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FAy的实际方向与假设方向相反，方向应该是竖直向下。

案例3-12 悬臂吊车如图3-35 所示。横梁AB 长l=2.5 m，重力W=1.2 kN。拉杆CD 延长线与AB 梁相交于B 点，其倾角α=30°，重力不计。电葫芦连同重物重力G=7.5 kN。试求当电葫芦在x=2 m 的位置时，拉杆的拉力F 和铰链A 的约束反力。

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图3-35　悬臂吊车示意图及横梁受力分析图

分析：（1）选横梁AB 为研究对象。

（2）画受力图，如图3-35（b）所示。作用于横梁上的力有重力W，电葫芦及重物的重力G，拉杆的拉力F 和铰链A 处的约束力FAx，FAy。因拉杆CD 是二力杆，故拉力F 沿CD 连线。显然各力作用线在同一平面内且任意分布，属于平面一般力系。

（3）选图示坐标系，列平衡方程求解。

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（4）解方程。代入已知数据，由式（c）解得

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代入式（a）、式（b），得

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案例3-13 塔式起重机的结构简图如图3-36 所示。设机架重力W=500 kN，重心在C 点，与右轨B 相距a=1.5 m，最大起重量P=250 kN，与右轨B 最远距离l=10 m，两轨A 与B 的间距为b=3 m，x=6 m。试求起重机在满载与空载时都不致翻倒的平衡物重力G的取值范围。

分析：（1）选取起重机整机为研究对象，进行受力分析，画受力图。

起重机在起吊重物时，作用其上的力有机架重力W，平衡物重力G，以及轨道对轮A 与轮B 的约束反力NA 和NB，这些力组成平面平行力系。

起重机在平衡时，力系具有G、NA 和NB 三个未知量，而力系只有两个独立的平衡方程，问题不可解。但是，本题是求使起重机满载与空载都不致翻倒的平衡物重G 的取值范围，因而可分为满载右翻与空载左翻的两个临界情况来讨论G 的最小与最大值，从而确定G的取值范围。

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图3-36　塔式起重机简图及受力分析图

（2）满载（P=250 kN）时，起重机可能绕B 轨右翻，在平衡的临界情况下（即将翻而未翻时），左轮A 将悬空，NA=0，这时由平衡方程求出的是平衡物重力G 的最小值Gmin。列平衡方程

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（3）空载（P=0）时，起置机可能绕A 轨左翻，在平衡的临界情况下，右轮B 将悬空，NB=0，这时由平衡方程求出的是平衡物重力的最大值Gmax。列平衡方程

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即平衡重物的取值范围为361.1 kN≤G≤375 kN。

2.平面任意力系平衡问题的解题步骤

现将解平面力系平衡问题的方法和步骤归纳如下：

（1）首先弄清题意，明确要求，正确选择研究对象。对于单个物体，只要指明某物体为研究对象即可。对于物体系统，往往要选两个以上的研究对象。如果选择了合适的研究对象，再选择适当形式的平衡方程，则可使解题过程大为简化。显然，选择研究对象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象，也可选物体系统和系统内由若干物体组成的局部为研究对象；还可考虑把物体系统全部拆开来逐个分析的方法，其平衡问题总是可以解决的。因此，在分析时，应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路，确定最佳的解题方案。

（2）分析研究对象的受力情况，并画出受力图。在受力图上画出作用在研究对象上所受的全部主动力和约束反力。特别是约束反力，必须根据约束特点去分析，不能主观地随意设想，对于工程上常见的几种约束类型要正确理解，熟练掌握。对于物体系统，每确定一个研究对象，必须单独画出它的受力图，不能把几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。还应特别注意各受力图之间的统一和协调，比如，受力图之间各作用力的名称和方向要一致；注意作用力和反作用力所用名称要有区别，方向应该相反。注意区分外力和内力，在受力图上不画内力。

（3）选取坐标轴，列平衡方程。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。比如，平面任意力系只能列出三个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列两个；平面力偶系只能列一个；对于由n 个物体组成的系统，可列出3n 个。列平衡方程时，应选取适当的坐标轴和矩心。应尽可能选与力系中较多未知力的作用线平行或垂直的坐标轴，以利于列投影方程，矩心则尽可能选在力系中较多未知力的交点上，以减少力矩的计算。总之，选择的原则是应使每个平衡方程中未知量越少越好，最好每个方程中只含有一个未知量，以避免列联立方程。

（4）解方程，求未知量。解题时最好用文字符号进行运算，得到结果时再代入已知数据。这样可以避免由于数据运算引起的运算错误，对简化计算、减少误差都有好处。还要注意计算结果的正负号，正号表示预先假设的指向与实际的指向相同，负号表示指向与实际的指向相反。在运算过程中，应连同负号代入其他方程继续求解。

（5）讨论和校核计算结果。在求出未知量后，对解的力学含义进行讨论，对解的正确性进行校核是必要的，特别是对较复杂的平衡问题。