求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。图2-3力的分解图2-4各力在坐标轴上的投影解：根据式（2-3）、式（2-4），列表计算如下：2.合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图2-8例2-2图解析法。......
2025-09-29
平面一般力系合力矩定理
【摘要】：于是可得到平面一般力系的合力矩定理。平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个：即阻止梁端向任何方向移动的水平反力XA和竖向反力YA，以及阻止物体转动的反力偶MA。试将这三个力向底面中心O点简化，并求简化的最后结果。
由上面分析可知，当R′≠0，M′O≠0时，还可进一步简化为一合力R，如图4-6所示，合力对O点的矩是
MO(R)＝R·d
而
所以
MO(R)＝MO(F)
由于简化中心O是任意选取的，故上式有普遍的意义。于是可得到平面一般力系的合力矩定理。平面一般力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
【例4-1】如图4-7（a）所示，梁AB的A端是固定端支座，试用力系向某点简化的方法说明固定端支座的反力情况。
解：梁的A端嵌入墙内成为固定端，固定端约束的特点是使梁的端部既不能移动也不能转动。在主动力作用下，梁插入部分与墙接触的各点都受到大小和方向都不同的约束反力作用[图4-7（b）]，这些约束反力就构成一个平面一般力系，将该力系向梁上A点简化就得到一个力RA和一个力偶矩为MA的力偶[图4-7（c）]，为了便于计算，一般可将约束反力RA用它的水平分力XA和垂直分力YA来代替。因此，在平面力系情况下，固定端支座的约束反力包括三个：即阻止梁端向任何方向移动的水平反力XA和竖向反力YA，以及阻止物体转动的反力偶MA。它们的指向都是假定的[图4-7（d）]。
图4-7 例4-1图
【例4-2】已知挡土墙自重W＝400kN，水压力F1＝170kN，土压力F2＝340kN，各力的方向及作用线位置如图4-8所示。试将这三个力向底面中心O点简化，并求简化的最后结果。
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图4-8 例4-2图
解：以底面O为简化中心，取坐标系如图4-8（a）所示，由式（4-2）和式（4-3）可求得主矢R′的大小和方向。由于
∑X＝F1－F2cos45°＝170－340×0.707＝－70.4(kN)
∑Y＝－F2sin45°－W＝－340×0.707－400＝－640.4(kN)
所以
因为∑X为负值，∑Y为负值，故R′指向第三象限与x轴夹角为α，再由式（4-4）可求得主矩为
计算结果为正，表示M′O是逆时针转向。
因为主矢R′≠0，主矩M′O≠0，如图4-8（b）所示，所以还可进一步合成为一个合力R。R的大小、方向与R′相同，它的作用线与O点的距离为
因M′O为正，故MO（R）也应为正，即合力R应在O点左侧，如图4-8（b）所示。
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