求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。图2-3力的分解图2-4各力在坐标轴上的投影解：根据式（2-3）、式（2-4），列表计算如下：2.合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图2-8例2-2图解析法。......
2025-09-29
平面力系合成的几何法及平衡条件
【摘要】：、Fn 组成的平面汇交力系。因此，平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力的多边形自行封闭。图3-8平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系；平面汇交力系合成；力多边形自行封闭用几何法解题所获得解答的精确程度受作图质量的影响。
1.平面汇交力系合成的几何法：力的多边形法则
设刚体上作用一个平面汇交力系F1、F2、F3、F4，各力的作用线汇交于A 点[图3-6（a）]，由力的可传性，将这些力沿其作用线移到A 点，得到一个平面汇交力系，其合力FR可通过连续使用力的三角形法则求得。如图3-6（b）所示，先作F1 与F2 的合力，再将FR1与F3 合成为力FR2；依此类推，最后求出FR2与F4 的合力FR。力FR 即为该汇交力系的合力，可用矢量式表示为
由图3-6（b）可见，求合力FR 时，只需将各力首尾相接，形成一条折线，最后连接封闭边，从F1 的始端A 指向F4 的末端E 所形成的矢量即为合力FR 的大小与方向。此法称为力的多边形法则。
由多边形法则求得的合力FR，其作用点仍为各力的汇交点，而且合力FR 的大小、方向与各力相加次序无关[图3-6（c）]。
图3-6 力的多边形
上述方法可以推广到由n 个力F1、F2、…、Fn 组成的平面汇交力系。若平面汇交力系包含n 个力，以FR 表示它们的合力，上述关系可用矢量表达式表述为
于是可以得出结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线经过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各分力的矢量和。
案例3-1 同一平面的三根钢索连接在一固定环上，如图3-7 所示，已知三钢索的拉力分别为：F1=500 N，F2=1 000 N，F3=2 000 N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。
图3-7 案例3-1图
分析：（1）先定力的比例尺。
（2）作力的多边形。先将各分力乘以比例尺得到各力的长度，然后将F1、F2、F3顺序连接，首尾相接得力的多边形abcd，如图3-7（b）所示。
（3）连接封闭边ad，则矢量
表示合力的大小和方向。量出ad 的长度，则FR 的大小为FR=2 839 N。
FR 的方向可由力的多边形法则直接画出，FR与F1 的夹角为80°13'。
2.平面汇交力系平衡的几何条件
由于平面汇交力系可以合成为一个力，显然，平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零。用矢量表示，即
对该力系作力的多边形时，得到一个闭合多边形，即最后一个力矢的末端与第一个力矢的始端相重合，如图3-8 所示。因此，平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力的多边形自行封闭。(https://www.chuimin.cn)
图3-8 平面汇交力系平衡的几何条件
（a）平面汇交力系；（b）平面汇交力系合成；（c）力多边形自行封闭
用几何法解题所获得解答的精确程度受作图质量的影响。
案例3-2 如图3-9 所示，钢梁的质量P=5 kN，θ=30°，试求平衡时钢丝绳的约束力。
分析：（1）取钢梁为研究对象。
（2）受力分析，画受力图。作用力有：钢梁重力P，钢丝绳约束力FA 和FB。三力汇交于D 点，受力如图3-9（a）所示。
（3）作力多边形，求未知量。首先选择力比例尺，以1 cm 长度代表2 kN。其次，任选一点e，作矢量
使其等于重力P，再从e 和f 两点分别作两条直线，与图3-9（a）中的FA、FB 平行，相交于h 点，得到封闭的力三角形efh。按各力首尾相接的次序，标出fh和he的指向，则矢量
分别代表力FA 和FB [图3-9（b）]。
（4）求出未知量。按比例尺量得fh 和he 的长度为
从力三角形可以看到，在重力P 不变的情况下，钢丝绳约束力随角θ 增加而加大。因此，起吊重物时应将钢丝绳放长一些，以减小其受力，从而不致被拉断。
图3-9 案例3-2图
案例3-3 如图3-10（a）所示，支架ABC 由横杆AB 与支承杆BC 组成。A、B、C处均为铰链连接，B 端悬挂重物，其重力W=5 kN，杆重不计，试求两杆所受的力。
分析：（1）选择研究对象，以销子B 为研究对象。
（2）受力分析，画受力图。由于AB、BC 杆自重不计，杆端为铰链，故均为二力杆，两端所受的力的作用线必过直杆的轴线，根据作用力与反作用力公理，它们的约束反力F1、F2 作用于B 点、此外，绳子的拉力W（大小等于物体所受的重力）也作用于B 点，F1、F2、W 组成平面汇交力系，其受力图如图3-10（b）所示。
（3）根据平衡几何条件求出未知力。当销子平衡时，三力组成一封闭力三角形，先画W，过a、b 点分别作F2、F1 的平行线，汇交于c 点，于是得力三角形abc，则线段bc 的长度为F1 的大小，线段ca 的长度为F2 的大小，力的指向符合首尾相接的原则，如图3-10（c）所示。由平衡几何关系求得
根据受力图可知，AB 杆为拉杆，受到的拉力为F1=8.66 kN；BC 杆为压杆，受到的压力为F2=10 kN。
图3-10 案例3-3图
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