图7.13随机车流作用下加劲梁位移响应均值由图7.13可知，在随机车流作用下加劲梁位移响应均值趋于收敛，因此，其位移响应为平稳随机过程。上述分析证明了结构响应为平稳随机过程并且具有各态历经性。表7.9随机车流作用下结构响应的均方根值图7.16随机车流作用下加劲梁的位移功率谱密度采用同样的方法求得响应均方根沿全桥加劲梁纵向分布情况如图7.17所示。......
2023-09-19
桥梁可靠度分析方法与应用：随机变量与随机过程
【摘要】：描述工程结构中不确定性的基本方法就是随机变量与随机过程。随机变量的概率分析是描述随机变量概率特征的重要依据。简而言之，随机过程就是依赖于时间t的一主随机变量，则X称为随机过程在t1时刻的随机变量［15］。图1.2随机过程样本与均值的关系随机过程的方差D表示随机过程在t时刻对于均值点的偏离程度。仅对于正态随机过程而言，两者一致，工程中常用的是平稳随机过程。
描述工程结构中不确定性的基本方法就是随机变量与随机过程。随机变量是指试验结果中能取得不同数据的量，简而言之，该变量在试验中可取不同数值，而在试验前不可预知该变量的数值［11］。根据随机变量的变化是否连续，可分为离散随机变量和连续随机变量。离散随机变量的数值是有限的，而连续随机变量可以在某区间内任取数值。随机变量的概率分析是描述随机变量概率特征的重要依据。常用的离散随机变量概率分布有二项分布、泊松分布；连续随机变量主要有正态分布、对数正态分布、极值分布等。针对离散型随机变量，通常采用概率分布来描述其概率特征。离散型随机变量的概率分布类型通常为二项分布或泊松分布［12］。其中，二项分布满足伯努利试验下的独立重分布原理。针对连续型随机变量，通常采用概率分布函数或概率密度函数表示其概率特征，常用的概率分布函数有正态分布、对数正态分布、极值Ⅰ型分布等。
上述的随机变量及其概率特征描述都是针对单一随机变量，然而工程结构同时受多个随机变量的影响，且随机变量之间存在相互作用，常常需要多个随机变量才能较好地描述工程结构的某一状态。针对n维随机变量，其概率分布函数可采用联合概率密度函数表示，随机变量的概率特征还可以采用数字特征来表达。假定随机变量X的概率密度函数为f（x），通常采用数学期望和方差的方式描述该随机变量的概率特征，表达式分别为［13］：
由此可知，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩，采用对随机变量矩分析的方法可建立随机变量的概率模型［14］。
实际工程结构中，有些随机变量的概率特征与时间有关，可采用与时间t有关的函数来描述。若对某事物的独立变化过程多次观测的结果不同，则可采用随机过程的方法来描述这类事物变化的随机特征，用X（t）表示。简而言之，随机过程就是依赖于时间t的一主随机变量，则X（t1）称为随机过程在t1时刻的随机变量［15］。随机过程同样可以分为离散型随机过程和连续型随机过程，按照概率分布函数的特征，可分为独立随机过程、马尔可夫过程、独立增量过程和平稳随机过程。随机过程X（t）在t1时刻的均值可表示为［16］：
式中，f1（x1，t1）表示X（t）的一维概率密度函数；均值mX（t）表示为随机过程在各个时刻的均值点，如图1.2所示［17］。
图1.2 随机过程样本与均值的关系
随机过程的方差D（t）表示随机过程在t时刻对于均值点的偏离程度。由上述可知，均值函数和方差函数是描述随机过程在独立时间点的重要数字特征函数。然而，随机过程还需要引入两个不同时间之间的联系，即为自相关函数，表示为［18］：
由此可知，自相关函数是随机过程概率密度函数的二阶原点矩。如果随机过程X（t）的均值是常数，自相关函数仅是时间间隔τ的函数，则称该随机过程为宽平稳随机过程；对于严格要求有限维概率分布函数都不随时间变化的这类过程为严平稳随机过程。一般情况下，严平稳随机过程一定是宽平稳随机过程，反之则不一定成立。仅对于正态随机过程而言，两者一致，工程中常用的是平稳随机过程。
频域数字特征是描述随机过程的重要依据，通常采用傅里叶变换来计算时间函数的频率结构，功率谱密度是描述工程结构频率结构的重要方式。通常情况下，功率谱密度是随机过程协方差函数的傅里叶谱分解结果。针对平稳随机过程，可简化为零均值的随机过程，其功率谱密度即为自相关函数的傅里叶变换［19］：
对应的傅里叶逆变换为：
平稳随机过程的自谱密度SX（ω）具有如下基本特征：非负函数、偶函数。两个随机过程之间的相关函数的傅里叶变换为互功率谱密度。关于随机过程的更多知识，可参考相关文献［20］。
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2023-09-19
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2023-09-19
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2023-09-19
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2023-09-19
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2023-09-19
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