泥沙资源优化配置的处理方法与水资源优化配置是类似的，利用多目标函数的条件极值原理进行配置。若考虑泥沙资源优化配置对各种效益的作用及平衡分配原则，则综合目标函数为式中:Rij为目标权重系数，根据配置单元对目标效益的贡献情况来确定。流域泥沙配置的约束条件表示为式中:akj为第j 个目标函数下第k 个约束条件 (k=1，2，…当泥沙表现为灾害时，采用泥沙灾害损失最小为泥沙优化配置的目标函数。......
2025-09-29
拓展你的函数：增强形函数探究
【摘要】：传统有限元方法以连续函数作为形函数，导致在分析裂纹扩展等问题上无法使用，XFEM 在传统有限元位移模式中加入特殊的函数作为形函数，以反映不连续面的存在，这些特殊的函数被称作增强形函数。在XFEM 中，将对节点集Sh和Sc分别采用不同的增强形函数。这类形函数称为裂尖增强形函数。使用这两种增强形函数，含裂纹二维平板的位移场可以表示为式中：N为常规有限元的形函数，aJ和bK为节点附加自由度。
裂纹问题和夹杂问题分别代表两类间断，即强间断和弱间断。强间断问题存在位移的不连续而弱间断只存在应变不连续。传统有限元方法以连续函数作为形函数，导致在分析裂纹扩展等问题上无法使用，XFEM 在传统有限元位移模式中加入特殊的函数作为形函数，以反映不连续面的存在，这些特殊的函数被称作增强形函数。图6－2 所示含二维裂纹平板有限元模型，其中有一条半裂纹
穿过有限元网格终止于一单元内部。将有限元网格的所有节点记为集合S，把被裂纹完全切断的单元记作集合Sh（图中方框节点），把围绕裂尖的单元的节点记为Sc（图中圆圈节点）。在XFEM 中，将对节点集Sh和Sc分别采用不同的增强形函数。
图6－2 二维裂纹中节点增强方案
（1）对于被裂纹完全穿过的单元，裂纹面两侧的位移场发生跳跃，增强形函数ψJ（x）可以采用如下形式：
式中：NJ（x）为通用增强形函数；H（x）是阶跃函数，可表示为
图6－3 光滑裂纹的切向和法向坐标
f（x）是水平集函数，可表示为
(https://www.chuimin.cn)
式中：n＋为间断线
上的单位法矢量。
对于不在
上的任意点x，f（x）是从点x 到
的最短距离，并且对此距离的正负定义为：如果点x 所在的位置与n＋指向一致则为正，否则为负。这类形函数被称为阶跃增强形函数（Heaviside Enrichment Function）。
（2）对于裂尖周围的节点，即集合Sc，ψJ（x）可以采用以下形式：
式中：Φ（x）为以下基函数用的线性组合：
式中：r 和θ 为在裂尖极坐标系中定义的位置参数。
由于式（6－9）中的基函数是线弹性断裂力学中平面复合型裂纹裂尖位移场解析解的各项，用它们来构造裂尖形函数不仅可以表现裂纹面不连续的性质，同时还能精确捕捉裂尖位移场。这类形函数称为裂尖增强形函数（Tip Enrichment Function）。
使用这两种增强形函数，含裂纹二维平板的位移场可以表示为
式中：N（x）为常规有限元的形函数，aJ和bK为节点附加自由度。
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