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2025-09-29
窗函数法及其对滤波器的影响
【摘要】：图2-73 种截断长度对应的滤波器特性图2-7是M分别取5、10及20时得到的一截止频率为0.25π低通滤波器的幅频特性曲线。矩形窗函数的频谱有较大的旁瓣，正是这些旁瓣在卷积时产生了吉布斯现象。另外，设计滤波器的任务又增加了窗函数的设计。窗函数法是针对时域幅度的控制，对频域期望的特性不能得到有效控制。通过窗函数使滤波器的波纹数得到了减少，但却增加了过渡带宽度。
带限信号的单位冲击响应h（n）的持续时间是-∞～∞，在物理上是无法实现的。对h（n）截断为有限2M+1项后右移M项，可变成因果性序列，即
hM（n）=h（n-M）n=0，1，…，2M （2-12）
用hM（n）近似代替h（n）研究系统特性存在误差，记逼近误差为ε2，则
式中，E为hM的幅频特性|HM|和h的幅频特性|H|差值。把HM和H展开成傅里叶级数有
把式（2-14）代入到式（2-13）中并利用三角函数的正交性得到
只有当A0=a0，An=an，Bn=bn，n=1，2，…，M时ε2才最小。亦即用HM来近似H的最小误差的条件是HM的单位抽样响应必须是H的傅里叶系数。所以，有限项傅里叶系数是在最小二次方意义上对原信号的最佳逼近，且M取得越大，误差ε2越小。
图2-73 种截断长度对应的滤波器特性
图2-7是M分别取5、10及20时得到的一截止频率为0.25π低通滤波器的幅频特性曲线。当M取不同值时，HM都在不同程度上近似于H。M过小时，通频带过窄且阻带内波纹较大。M增大时，通频带接近0.25π且阻带内波纹减小，但在通带内出现了波纹，随着M的继续增大，这些波纹并不能消失，只是最大的上冲越来越接近间断点，这就是吉布斯现象。
MATLAB实现如下：
(https://www.chuimin.cn)
对hM的自然截断等于对它施加了一个矩形窗口w，在频域则相当于HM与w的频谱W的线性卷积。矩形窗函数的频谱有较大的旁瓣，正是这些旁瓣在卷积时产生了吉布斯现象。为了减小吉布斯现象，可以选取一些旁瓣较小的窗口，如三角窗、汉宁窗等来代替矩形窗。图2-8中给出了M=10时分别加矩形窗和汉宁窗后的幅频特性曲线。
图2-8 加矩形窗和汉宁窗后的幅频特性
MATLAB实现如下：
在MATLAB中窗函数有矩形窗、三角窗、巴特利特窗、汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗和凯泽窗，对应的函数波形和频谱曲线如图2-9所示。
图2-9 8种窗函数的波形和频谱图对比
图2-9 8种窗函数的波形和频谱图对比（续）
8种窗函数的MATLAB实现如下：
通过窗函数使滤波器的波纹数得到了减少，但却增加了过渡带宽度。另外，设计滤波器的任务又增加了窗函数的设计。窗函数法是针对时域幅度的控制，对频域期望的特性不能得到有效控制。
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2025-09-29
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