位移法基本未知量求解方法

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：如前所述，位移法是以结点位移作为基本未知量。结点位移有两种，即结点角位移（转角）和结点线位移，因此，必须先确定位移法的基本未知量的数目。如图15-2所示的刚架，其结构内部只有B、C两个刚性结点，因此也就只有两个角位移未知量。图15-4铰化结点判定法（一）图15-5铰化结点判定法（二）综上所述，位移法基本未知量的数目，等于结构中结点角位移的数目和独立结点线位移的数目之和。

如前所述，位移法是以结点位移作为基本未知量。结点位移有两种，即结点角位移（转角）和结点线位移，因此，必须先确定位移法的基本未知量的数目。

1.结点角位移数目的确定

位移法计算超静定刚架时，是以单跨超静定梁的转角位移方程作为计算基础的。由于刚架内部每个刚性结点都有可能发生角位移，并且汇交于同一刚性结点处的各杆端的转角就等于该刚结点的转角。因此，结构中角位移基本未知量的数目就等于结构内部刚性结点的数目。即只要确定了刚性结点的个数，也就确定了结点角位移的数目。如图15-2所示的刚架，其结构内部只有B、C两个刚性结点，因此也就只有两个角位移未知量。

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图15-2　结点角位移数目的确定

分解位移法单元杆时，刚结点作为固定端支座，其杆端转角与结点转角相同（杆端是固定端支座的转角为零）；铰结点作为铰支座，其转角不独立（铰支座转角也可由其他位移表示）。

2.结点线位移数目的确定

一个点在平面内有两个可移动的自由度，因此，平面刚架中每个结点处若不受约束，则必有两个线位移。为了简化计算，通常都假定结构的变形是微小的，对于受弯构件则可以忽略剪切变形与轴向变形对结构变形的影响，即认为杆件在变形前后的长度保持不变。这样就可以将每根受弯构件当作一根刚性链杆的约束。在此情况下，明确独立的结点线位移个数通常有两种方法。

（1）直观观察法。对于一般的刚架，独立结点线位移的数目可以直接观察确定。如图15-3所示的刚架，若不考虑各杆长度变化时，结点1、2、3没有竖向位移而只有水平位移Δ1、Δ2和Δ3，且Δ1＝Δ2＝Δ3，即该刚架只有一个独立的结点线位移Δ。(https://www.chuimin.cn)

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图15-3　直观观察法确定结点线位移数目

（2）铰化结点判定法。对于比较复杂的结构，常采用“铰化结点，增设链杆”的方法，即把结构中所有的刚性连接（刚结点和固定支座）全部变成铰接，从而使得结构变成完全铰结体系。然后分析完全铰化后的铰接体系的几何组成。若体系为几何不变，则结构没有结点线位移；若结构为几何可变体系，须将凡是可动的结点，用增设附加链杆的方法使其不动，从而使整个体系变成几何不变体系，最后计算出所需增设附加链杆的最少个数，即为结构的独立结点线位移个数。例如，图15-4（a）所示刚架，变成铰接体系后[图15-4（b）]，只需增设2根附加链杆的约束就能变成几何不变体系，则该刚架只有2个独立结点线位移；又如图15-5（a）所示刚架，变成铰接体系后[图15-5（b）]，只需增设2根附加链杆的约束就能变成几何不变体系，则该刚架只有2个独立结点线位移。

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