能较好地滤除非线性环节在正弦输入下的输出中的高次谐波，于是可以认为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法所得的分析结果才是比较准确的。描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫作谐波线性化，是线性系统频率法的推广。描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。......
2023-06-28
结构力学：位移法概念简介
【摘要】：位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，取超静定的单个杆件及其组成的体系作为基本结构，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。通过下面简单例子具体说明位移法的基本原理和计算方法。综上所述，位移法的基本思路是“先固定后复原”。
超静定结构分析的基本方法有两种，即力法和位移法。力法发展较早，19 世纪末已用于分析连续梁。而位移法稍晚，直到20 世纪初，由于钢筋混凝土结构的出现，刚架的应用逐渐增多，为了计算复杂的刚架而发展起来的。
无论是力法还是位移法，都必须满足以下条件：
① 力的平衡；② 位移的协调；③ 力与位移的物理关系。
力法是以多余未知力为基本未知量，以解除多余约束的静定结构作为基本结构，通过变形条件建立力法方程，将这些多余未知力求出，即可通过平衡条件计算出结构的全部内力。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，取超静定的单个杆件及其组成的体系作为基本结构，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。
结构在确定的荷载等因素作用下，其内力与位移之间具有确定的物理关系，即确定的内力与确定的位移相对应。因此，可以先求出内力再求位移，亦可先求位移再求内力。但不论哪一种方法，都采取“先修改后复原”的方法。即先将给定结构修改为便于分析的、熟知的结构，然后再恢复为原结构，从而求出其内力和位移。
通过下面简单例子具体说明位移法的基本原理和计算方法。
如图 7-1（a）所示刚架，在荷载作用下产生的变形如图中虚线所示，设结点 1 的转角为Z1，根据变形协调条件可知，汇交于结点1 的两杆杆端应有相同的转角Z1。为了使问题简化，在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变形的影响，并认为弯曲变形是很小的，因而可假定受弯杆两端之间的距离保持不变。则结点1 只有角位移Z1，而无线位移，整个刚架的变形取决于未知转角Z1的方向和大小。若能求得转角位移Z1，即可求出刚架的内力。
为求转角位移Z1，可先对原结构 7-1（a）做些修改，设想在1 结点处安装一个阻止转动的装置“ ”，称为附加刚臂约束，如图7-1（b）所示。结点1 装上附加约束后就不能转动了，于是，原结构被隔离成如图7-l（d）所示的两根彼此独立的单跨超静定梁（梁单元），称为位移法的基本结构。在荷载作用下，由于附加约束阻止了结点转动，在附加约束内必将产生一个约束力矩R1F。考虑到原结构结点1 实际上是转动了一个未知的转角Z1，为了恢复原状，可在如图7-l（c）所示的结点1 的附加约束上人为地加上一个外力矩R11，迫使结点1 正好转动了一个转角Z1，于是，变形复原到原先给定的结构。这就是借助附加约束以控制结点的位移，实现基本结构的两阶段分析。
将上述“先固定后复原”两个步骤的结果相叠加，即图7-1（b）和图7-1（c）相叠加，即等于原结构［见图 7-l（a）］的结果。应注意到原结构的结点1 上并没有附加约束，因而不存在约束力矩 （即原结构上的约束力矩应等于零）。于是得到
图7-1
代入方程（a），即得
最后，根据叠加原理，即可求出最终弯矩图，如图 7-1（h）所示。
综上所述，位移法的基本思路是“先固定后复原”。“先固定”是指在原结构可能产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构；“后复原”是指人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构应有的位移状态。通过上述两个步骤，使基本结构与原结构内力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的变形、内力。
由以上分析，归纳位移法计算的要点为：
（1）以独立的结点位移（包括结点角位移和结点线位移）为基本未知量。
（2）以单跨超静定梁系为基本结构。
（3）由基本结构在附加约束处的受力与原结构一致的平衡条件建立位移法方程。先求出结点位移，进而计算出各杆件内力。
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