生态数据分析与建模：直线回归分析的计算

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：直线回归是回归分析中最简单的一种，又称为简单回归。（一）直线回归方程散点图上呈现直线趋势的两个变数，自变量x的每一个取值都有y的一个分布与之对应。试计算其直线回归方程。为简化手续，可从以下恒等式得出：（五）直线回归的数学模型和基本假定回归分析的依据是直线回归模型。

直线回归是回归分析中最简单的一种，又称为简单回归。

（一）直线回归方程

散点图上呈现直线趋势的两个变数，自变量x的每一个取值都有y的一个分布与之对应。在这种情况下，可以利用直线回归方程描述两个变数之间的关系：

其中x是自变量；是和x的两相对应的点估计值；a是x＝0时的值，即回归直线在y轴上的截距，叫回归截距；b是x每增加一个单位时，平均地将要增加或减少的单位数，叫回归系数。

使得＝a＋bx最好地代表y和x在数量上的互变关系，根据最小二乘法：

因此，分别对a和b求偏导数并令其为0，即可得到正规方程组

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分子是x的离均差和y的离均差的乘积之和，简称乘积和（sum ofproducts），记作SP；分母是x的离均差平方和，记作SSx。将（6-2）式、（6-3）式算得的a和b值代入（6-1），即可保证为最小，同时使∑（y-）＝0。

a和b值皆可正可负，随具体资料而异。当a＞0时，表示回归直线在I、II象限交于y轴；当a＜0时，表示回归直线在Ⅲ、V象限交于y轴；当b＞0时，表示y随x的增大而增大；当b＜0时，表示y随x的増大而减小。若b＝0或和0的差异不显著，则表明y的变异和x的取值大小无关，直线回归关系不能成立。

以上是a和b值的统计学解释。在具体问题中，a和b值将有专业上的实际意义。

将（6-2）式代入（6-1）式可得：

由（6-4）式可见，当x＝时，必有，所以回归直线一定通过坐标点。记住这一特性，有助于绘制具体资料的回归直线。

由（6-4）式还可看出：①当x以离均差为单位时，回归直线的位置仅决定于和b；②当将坐标轴平移到以为原点时，回归直线的走向仅决定于b，所以一般又称b为回归斜率（regression slope）

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图6-1　直线回归方程 pagenumber_ebook=45,pagenumber_book=33 ＝a＋bx的图

（二）直线回归方程的计算

以一个实例说明回归统计数计算的过程。

［例1］一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值（x，旬·度）和水稻一代三化螟盛发期（y，以5月10日为0）的关系，得结果于表6-1。试计算其直线回归方程。

表6-1　累积温和一代三化螟盛发期的关系

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首先由表6-1算得回归分析所必需的6个一级数据（即由观察值直接算得的数据），

n＝9

∑x＝35．5＋34．1＋．．．＋44．2＝333．7

∑x2＝35．52＋34．12＋．．．＋44．22＝12 517．49

∑y＝12＋16＋．．．＋（-1）＝70

∗∑y2＝122＋162＋．．．＋（-1）2＝794

∑xy＝（35．5×12）＋（34．1×16）＋．．．＋［44．2×（-1）］＝2 346．4然后，由一级数据算得5个二级数据：

SSx＝∑x2-（∑x）2/n＝12 517．49-（333．7）2/9＝144．635 6

∗SSy＝∑y2-（∑y）2/n＝794-（70）2/9＝249．555 6(https://www.chuimin.cn)

SP＝∑xy-∑x∑y/n＝2436．4-（333．7X70）/9＝-159．044 4

pagenumber_ebook=47,pagenumber_book=35 ＝∑x/n＝333．7/9＝37．077 8

pagenumber_ebook=47,pagenumber_book=35 ＝∑y/n＝70/9＝7．777 8

因而有：b＝SP/SSx＝-159．044 4/144．635 6＝-1．099 6［天/（旬·度）］

a＝ pagenumber_ebook=47,pagenumber_book=35 ＝7．777 8-（-1．099 6×37．077 8）＝48．548 5（天）

故得到表6-1资料的回归方程： pagenumber_ebook=47,pagenumber_book=35 ＝48．548 5-1．099 6x或化简成：＝48．5-1．1x

（三）直线回归方程的图示

直线回归图包括回归直线的图象和散点图，它可以醒目地表示x和y的数量关系。

制作直线回归图时，首先以x为横坐标，以y为纵坐标构建直角坐标系（纵、横坐标皆需标明名称和单位）；然后取x坐标上的一个小值x1代入回归方程得，取一个大值x2代入回归方程得，连接坐标点（x1，）和（x2，）即成一条回归直线。如例6-1资料，以x1＝31．7代入回归方程得＝13．69；以x2＝44．2代入回归方程得＝-0．05。在图6-2上确定（31．7，13．69）和（44．2，-0．05）这两个点，再连接之，即为＝48．5485-1．099 6x的直线图象。注意：此直线必通过点，它可作为制图是否正确的核对。最后，将实测的各对（xi，yi）数值也用坐标点标于图6-2上。

图6-2的回归直线是9个观察坐标点的代表，它不仅表示了表6-1资料的基本趋势，也便于预测。如某年3月下旬至4月中旬的积温为40旬·度，则在图6-2上可查到一代三化螟盛发期的点估计值在5月14日-15日，这和将x＝40代人原方程得到＝48．548 5-（1．099 6×40）＝4．6是一致的。因为回归直线是综合9年结果而得出的一般趋势，所以其代表性比任何一个实际的坐标点都好。

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图6-2　旬平均温度累积值和一代三化螟盛发期的关系

（四）直线回归的估计标准误

由图6-2可见，满足Q＝∑（y-）2为最小的直线回归方程和实测的观察点并不重合，表明该回归方程仍然存在随机误差。Q就是误差的一种度代三化螟盛发期的关系量，称之为离回归平方和（sum of squares due to deviation from regres⁃sion）或剩余平方和。由于在建立回归方程时用了a和b两个统计数，故Q的自由度v＝n-2。因而，可定义回归方程的估计标准误Sy/x为：