弯矩、剪力与分布荷载集度的关系探讨

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度q的正负值有关。表6-1梁上荷载和剪力图、弯矩图的关系利用梁的剪力图、弯矩图与荷载之间的规律作梁的内力图，通常称为简捷法作剪力图、弯矩图。梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。

在[例6-8]中，若将M（x）的表达式对x取导数，就得到剪力FQ（x）。若再将FQ（x）的表达式对x取导数，则得到载荷集度q。这里所得到的结果，并不是偶然的。实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。现从一般情况出发加以论证。

如图6-24（a）所示为简支梁受载荷作用，其中有载荷集度为q（x）的分布载荷。q（x）是x的连续函数，规定向上为正，选取坐标系如图6-24（a）所示。若用坐标为x和x＋dx的两个相邻横截面，从梁中取出长为dx的一段来研究，由于dx是微量，微段上的载荷集度q（x）可视为均布载荷，如图6-24（b）所示。

设坐标为x的横截面上的内力为FQ（x）和M（x），在坐标为x＋dx的横截面上的内力为FQ（x）＋dFQ（x）和M（x）＋dM（x）。假设这些内力均为正值，且在dx微段内没有集中力和集中力偶。微段梁在上述各力作用下处于平衡。根据平衡条件得

FQ(x)－[FQ(x)＋dFQ(x)]＋q(x)dx＝0

由此导出

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图6-24　简支梁受力图

设坐标为x＋dx截面与梁轴线交点为C，由得

略去二阶微量可得

将式（6-2）对x求一阶导数，并利用式（6-1），得

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式（6-1）～式（6-3）就是载荷集度q（x）、剪力FQ（x）和弯矩M（x）之间的微分关系。它表示：

（1）横截面的剪力对x的一阶导数，等于梁在该截面的载荷集度，即剪力图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的载荷集度。

（2）横截面的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力，即弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应横截面上的剪力。

（3）横截面的弯矩对x的二阶导数，等于梁在该截面的载荷集度q（x）。由此表明弯矩图的变化形式与载荷集度q（x）的正负值有关。若q（x）方向向下（负值），即，弯矩图为向上凸曲线；反之，q（x）方向向上（正值），则弯矩图为向下凸曲线。

根据微分关系，还可以看出剪力和弯矩有以下规律：

（1）梁的某一段内无载荷作用，即q（x）＝0，由可知，FQ（x）＝常量。

若FQ（x）＝0，剪力图为沿x轴的直线，并由可知，M（x）＝常量，弯矩图为平行于x轴的直线。

若FQ（x）等于常数，剪力图为平行于x轴的直线，弯矩图为向上或向下倾斜的直线。

（2）梁的某一段内有均布载荷作用，即q（x）等于常数，则剪力FQ（x）是x的一次函数，弯矩M（x）是x的二次函数。剪力图为斜直线；若q（x）为正值，斜线向上倾斜；若q（x）为负值，斜线向下倾斜。弯矩图为二次抛物线，当q（x）为正值，即时，弯矩图为下凸曲线；当q（x）为负值，即时，弯矩图为上凸曲线。

（3）在集中力偶作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于该集中力的数值。此处弯矩图由于切线斜率突变而发生转折。

（4）在集中力偶作用处，剪力图不受影响，而弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的数值。

上述结论可用表6-1表示。

表6-1　梁上荷载和剪力图、弯矩图的关系

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利用梁的剪力图、弯矩图与荷载之间的规律作梁的内力图，通常称为简捷法作剪力图、弯矩图。同时，还可以用这些规律来校核剪力图和弯矩图的正确性，避免作图时出现的错误。用简捷法作剪力图和弯矩图的步骤如下：

（1）求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。

（2）将梁进行分段。梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面都是梁分段时的界线截面。

（3）由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。

（4）确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。

控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。当图形为平行直线时，只要确定一个截面的内力数值就能作出图来，此时找到一个控制截面就行了；当图形为斜直线时就需要确定两个截面的内力数值才能作出图来，此时要找到两个控制截面；而当图形为抛物线时就需要至少确定三个截面的内力数值才能作出图来，此时至少要找到三个控制截面；一般情况下，选梁段的界线截面、剪力等于零的截面、跨中截面为控制截面。

【例6-10】用简捷法作图6-25（a）所示外伸梁的剪力图和弯矩图。

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