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二元随机变量函数的分布及解析

2025-09-30 理论教育 版权反馈
【摘要】：1.二元随机变量函数分布的计算设（X，Y）是二维随机变量，g（x，y）是已知函数，则称随机变量Z=g（X，Y）为两个随机变量的函数.当（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布列为P=pij（i=1，2，…

【主要内容】

1.二元随机变量函数分布的计算

设（X，Y）是二维随机变量，g（x，y）是已知函数，则称随机变量Z=g（X，Y）为两个随机变量的函数.

当（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布列为P（X=xi，Y=yj）=pij（i=1，2，…，m，…；j=1，2，…，n，…）时，Z=g（X，Y）的分布律为

978-7-111-46245-3-Part03-397.jpg

这里z1，z2，…，zk，…确定如下：对每对（xi，yj）算出g（xi，yj）的值，然后将它们整合，即相同的只保留一个，并作由小到大的排列.此外，

978-7-111-46245-3-Part03-398.jpg

由此可以进一步算出Z的分布函数FZ（z）.

当（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度为f（x，y）时，随机变量Z=g（X，Y）的分布函数FZ（z）与概率密度fZ（z）可按以下方法计算：

978-7-111-46245-3-Part03-399.jpg

2.常见的两个随机变量函数的分布

（1）设（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度为f（x，y），则随机变量Z=aX+bY+c（a，b，c是常数）的概率密度fZ（z）为

当b≠0时，978-7-111-46245-3-Part03-400.jpg

当a≠0时，978-7-111-46245-3-Part03-401.jpg

注 （ⅰ）当Z=X+Y时，978-7-111-46245-3-Part03-402.jpg，特别地，当

X与Y相互独立时，978-7-111-46245-3-Part03-403.jpg（其中，fX（x）和fY（y）分别是X和

Y的概率密度）.

（ⅱ）当Z=X-Y时，978-7-111-46245-3-Part03-404.jpgy，特别地，当X与

Y相互独立时，978-7-111-46245-3-Part03-405.jpg（其中，fX（x）和fY（y）分别是X和

Y的概率密度）.

（2）设X与Y相互独立，它们的分布函数分别为FX（x）与FY（y），则随机变量Z1=max{X，Y}与Z2=min{X，Y}的分布函数分别为

978-7-111-46245-3-Part03-406.jpg

【典型例题】

例7.14.1 设随机变量X与Y相互独立，它们的分布律分别为

978-7-111-46245-3-Part03-407.jpg

978-7-111-46245-3-Part03-408.jpg

求随机变量Z=X+2Y的分布律.

精解 先写出（X，Y）的分布律，然后据此确定Z的分布律.

由于X与Y相互独立，所以（X，Y）的分布律为

978-7-111-46245-3-Part03-409.jpg

由上表可知Z=X+2Y全部可能取的值为-2，-1，0，1，2，3，4，并且对应的概率为978-7-111-46245-3-Part03-410.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-411.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-412.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-413.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-414.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-415.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-416.jpg，

因此Z=X+2Y的分布律可列表表示为

978-7-111-46245-3-Part03-417.jpg

例7.14.2 设随机变量（X，Y）的概率密度为

978-7-111-46245-3-Part03-418.jpg

求随机变量Z=X+Y的概率密度fZ（z）.

精解 按Z=X+Y的概率密度计算公式计算fZ（z），即

978-7-111-46245-3-Part03-419.jpg

，(https://www.chuimin.cn)

其中，978-7-111-46245-3-Part03-420.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-421.jpg，

由此可知，f（x，z-x）在D={（x，z）0<x<1，0<z-x<1}（如图7.14.2阴影部分所示）上取值为2-z，在xOz平面的其他部分取值都为零.

978-7-111-46245-3-Part03-422.jpg

图 7.14.2

当0≤z<1时，978-7-111-46245-3-Part03-423.jpg，

当1≤z≤2时，978-7-111-46245-3-Part03-424.jpg，

当z<0或z>2时，978-7-111-46245-3-Part03-425.jpg

因此978-7-111-46245-3-Part03-426.jpg

例7.14.3 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

978-7-111-46245-3-Part03-427.jpg

求随机变量Z=2X-Y的概率密度fZ（z）.

精解 按Z=2X-Y的概率密度计算公式计算fZ（z），即978-7-111-46245-3-Part03-428.jpg，其中，978-7-111-46245-3-Part03-429.jpg

即f（x，2x-z）在D={（x，z）0<x<1，0<z<2x}（如图7.14.3阴影部分所示）上取值为1，在xOz平面的其他部分上取值为零.

978-7-111-46245-3-Part03-430.jpg

图 7.14.3

当0≤z≤2时，

978-7-111-46245-3-Part03-431.jpg

当z<0或z>2时，

978-7-111-46245-3-Part03-432.jpg

，

即978-7-111-46245-3-Part03-433.jpg

例7.14.4 设随机变量X与Y相互独立，X～E（1），Y～U[0，1].

（1）求随机变量Z=max{X，Y}的概率密度fZ（z）；

（2）记U=min{X，Y}，求概率978-7-111-46245-3-Part03-434.jpg

精解 （1）先算Z的分布函数FZ（z），然后求导得到fZ（z）.

由于X与Y相互独立，所以FZ（z）=FX（z）FY（z），（1）

其中，由X的概率密度978-7-111-46245-3-Part03-435.jpg，得X的分布函数978-7-111-46245-3-Part03-436.jpg978-7-111-46245-3-Part03-437.jpg

，x>0

{x≤0，从而978-7-111-46245-3-Part03-438.jpg由Y的概率密度978-7-111-46245-3-Part03-439.jpg

得Y的分布函数978-7-111-46245-3-Part03-440.jpg，从而978-7-111-46245-3-Part03-441.jpg，所以978-7-111-46245-3-Part03-442.jpg

z<0，，0≤z≤1，

z>1.

由此得到，978-7-111-46245-3-Part03-443.jpg

（2）先计算U的分布函数FU（u），然后由978-7-111-46245-3-Part03-444.jpg算出这个概

率.由于U=min{X，Y}的分布函数

978-7-111-46245-3-Part03-445.jpg

978-7-111-46245-3-Part03-446.jpg

所以，978-7-111-46245-3-Part03-447.jpg978-7-111-46245-3-Part03-448.jpg

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