【主要内容】1.函数微分的定义设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义.如果y在点x0处的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0） （其中，Δx是自变量x在点x0处的增量）可表示为Δy=AΔx+o（Δx）（其中，A与Δx无关，o（Δx）表示Δx→0时比Δx高阶的无穷小），则称y=f（x）在点x0处可微，称Δy的线性主部AΔx为y=f（x）在点x0处的微分，记为dy|x=x0（注意：函数y=f（x......
2023-10-27
二元函数全微分及其定义与性质
【摘要】：【主要内容】设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义.如果它在点（x0，y0）处的全增量Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）（其中A和B不依赖于Δx，Δy，o（ρ）是比ρ=高阶的无穷小），则称z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，称AΔx+BΔy为z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全微分，记为，即注 （ⅰ）二元函
【主要内容】
设二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义.如果它在点（x0，y0）处的全增量
Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o（ρ）（其中A和B不依赖于Δx，Δy，o（ρ）是比ρ=
高阶的无穷小），则称z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，称AΔx+BΔy为
z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全微分，记为
，即
注 （ⅰ）二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处的全微分记为dz.
（ⅱ）如果二元函数z=f（x，y）在点（x，y）处可微，则
（ⅲ）二元函数f（x，y）在点（x，y）处连续，两个偏导数存在，可微及两个偏导数连续有如下的关系：
这里A→B表示由命题A可以推出命题B；AB表示由命题A未必能推出命题B.
（ⅳ）设z=f（u，v）有连续偏导数，则无论u，v是自变量还是可微的中间变量都有
（微分形式不变性）.
（ⅴ）设P（x，y），Q（x，y）都有连续偏导数，则P（x，y）dx+Q（x，y）dy是某个二元函数的全微分的充分必要条件是
【典型例题】
例3.2.1 （单项选择题）设二元函数
，，
则在点（0，0）处f（x，y）（）.
A.两个偏导数不存在 B.不可微
C.两个偏导数存在且连续 D.可微
精解 由于选项B和D中有且仅有一个是正确的，所以只要考虑f（x，y）在点（0，0）处是否可微即可.
，
同理可得fy′（0，0）=0.
由于
即
，所以f（x，y）在点（0，0）处可微.
因此本题选D.
注 当已知二元函数f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏导数fx′（x0，y0）=a，fy′（x0，y0）=b时，要判定f（x，y）在点（x0，y0）处是否可微，可从计算极限
入手.如果该极限为零，则f（x，y）在点（x0，y0）处可微，且
；如果该极限不为零，则f（x，y）在点（x0，y0）处不可微.
例3.2.2（单项选择题）二元函数f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）.
A.f（x，y）在点（0，0）处连续
B.fx′（0，0），fy′（0，0）都存在C.
D.
，
精解 由f（x，y）在点（0，0）处连续与fx′（0，0），fy′（0，0）存在都未必能推出f（x，y）在点（0，0）处可微，所以选项A和B都不能选.
现考虑选项C：(www.chuimin.cn)
由
，即fx′（0，0）=0.
同理可得fy′（0，0）=0.
所以，
从而f（x，y）在点（0，0）处可微.
因此本题选C.
例3.2.3 （单项选择题）设二元函数F（x，y）有连续偏导数，且F（x，y）（ydx+xdy）为某个二元函数的全微分，则F（x，y）满足（ ）.
A.Fx′（x，y）=Fy′（x，y） B.xFx′（x，y）=yFy′（x，y）
C.xFy′（x，y）=yFx′（x，y） D.-xFx′（x，y）=yFy′（x，y）
精解 由于F（x，y）（ydx+xdy）=yF（x，y）dx+xF（x，y）dy为某个二元函数的全微分，所以有
即F（x，y）+xFx′（x，y）=F（x，y）+yFy′（x，y），化简后得
xFx′（x，y）=yFy′（x，y）.
因此本题选B.
例3.2.4 设二元函数
，Δx=0.1，Δy=0.2，求dz（1，0）.
精解 先利用偏导数定义算出fx′（1，0），fy′（1，0），然后将Δx=0.1，Δy=0.2代入dz（1，0）=fx′（1，0）Δx+fy′（1，0）Δy即可.
由于
所以，当Δx=0.1，Δy=0.2时，
dz（1，0）=（2Δx-Δy）Δx=0.1，Δy=0.2=0.
例3.2.5 设（x3+xy2+y）dx+（x2y+y3+x）dy是二元函数f（x，y）的全微分，求f（x，y）的表达式.
精解 由题设知
fx′=x3+xy2+y，（1）
fy′=x2y+y3+x，（2）
式（1）的两边对x积分（此时将y看做常数）得
（其中，φ（y）是待定函数）.
（3）
式（3）的两边对y求偏导数得
fy′=x2y+x+φ′（y），
与式（2）比较得φ′（y）=y3，所以
（C是任意常数）.将它代入式（3）得
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