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二维连续型随机变量条件概率计算精要

2025-09-30 理论教育 版权反馈
【摘要】：【主要内容】设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），则两类条件概率P（a0）和P（a0）可以分别按以下公式计算：（1）；（2）（其中，fYX（yc）是在X=c的条件下，Y的条件概率密度）.【典型例题】例7.12.1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求条件概率精解 f

【主要内容】

设二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），则两类条件概率P（a<Y≤b X≤c）（其中，P（X≤c）>0）和P（a<Y≤bX=c）（其中，边缘概率密度fX（x）在点x=c处的值fX（c）>0）可以分别按以下公式计算：

（1）978-7-111-46245-3-Part03-320.jpg；

（2）978-7-111-46245-3-Part03-321.jpg（其中，fYX（yc）是在X=c的条件下，Y的

条件概率密度）.

【典型例题】

例7.12.1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

978-7-111-46245-3-Part03-322.jpg

求条件概率978-7-111-46245-3-Part03-323.jpg

精解 f（x，y）仅在区域G={（x，y）0<x<1，0<y<2x}（如图7.12.1阴影部分所示）内取值为1，在xOy平面的其他部分都取值为零.

978-7-111-46245-3-Part03-324.jpg

图 7.12.1

由于978-7-111-46245-3-Part03-325.jpg

其中，978-7-111-46245-3-Part03-326.jpg978-7-111-46245-3-Part03-327.jpg978-7-111-46245-3-Part03-328.jpg

为计算978-7-111-46245-3-Part03-329.jpg，需先算出（X，Y）的关于X的边缘概率密度fX（x）：

978-7-111-46245-3-Part03-330.jpg

所以978-7-111-46245-3-Part03-331.jpg

将它们代入式（1）得

978-7-111-46245-3-Part03-332.jpg

例7.12.2 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为978-7-111-46245-3-Part03-333.jpg求条件

概率P（X≤2Y=1）.

精解 f（x，y）在区域D={（x，y）0<y<x}（如图7.12.2阴影部分所示）上取值为e-x，在平面xOy的其他部分取值都为零.

978-7-111-46245-3-Part03-334.jpg

图 7.12.2(https://www.chuimin.cn)

由于978-7-111-46245-3-Part03-335.jpg，（1）

其中，978-7-111-46245-3-Part03-336.jpg，（2）

而978-7-111-46245-3-Part03-337.jpg978-7-111-46245-3-Part03-338.jpg，

将它们代入式（2）得978-7-111-46245-3-Part03-339.jpg

将它代入式（1）得

978-7-111-46245-3-Part03-340.jpg

例7.12.3 设有随机变量X，Y，且在Y=y的条件下，X的条件概率密度为

978-7-111-46245-3-Part03-341.jpg

而Y的概率密度为978-7-111-46245-3-Part03-342.jpg求：

（1）概率978-7-111-46245-3-Part03-343.jpg

（2）条件概率978-7-111-46245-3-Part03-344.jpg

精解 （1）由于978-7-111-46245-3-Part03-345.jpg，其中fX（x）是关于X的边缘概率密度，因

此应先计算（X，Y）的概率密度f（x，y）.

由于978-7-111-46245-3-Part03-346.jpg，fY（y）>0，fXY（x，y）>0，

其他，978-7-111-46245-3-Part03-347.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-348.jpg，

即f（x，y）仅在区域D={（x，y）0<x<y<1}（如图7.12.3阴影部分所示）内取非零值15x2y，

978-7-111-46245-3-Part03-349.jpg

图 7.12.3

所以978-7-111-46245-3-Part03-350.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-351.jpg

因此978-7-111-46245-3-Part03-352.jpg

（2）由于978-7-111-46245-3-Part03-353.jpg，

其中，978-7-111-46245-3-Part03-354.jpg

所以，978-7-111-46245-3-Part03-355.jpg

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