平面内线和点的关系

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：例3-14在△ABC给定的平面内作一任意直线。图3-42平面内的正平线图3-43平面内的水平线分析水平线的正面投影平行于X轴，所以可先作正面投影，再求水平投影。图3-46平面内取点图3-47判断点D是否在平面内例3-20判断点D是否在△ABC确定的平面内。图3-48完成平面的水平投影

直线在平面内的几何条件如下。

（1）直线通过平面内的已知两点，如图3-39（a）所示。

（2）直线含平面内的已知点，又平行于平面内的一已知直线，如图3-39（b）所示。

以上几何条件是解决平面内直线作图问题的依据。

1.平面内的一般位置直线

在平面内作直线，只要在平面内两已知直线上各取一点，然后连成直线即可。

例3-14　在△ABC给定的平面内作一任意直线。

分析　根据直线在平面内的几何条件可知，只要找到平面内已知两点即可求出该直线。

作图　如图3-40所示，在△ABC内任意两边各取一点Ⅰ、Ⅱ，分别连接Ⅰ、Ⅱ的投影1、2和1'、2'即得一解。本例有无穷解。

图3-39　直线在平面内的条件

图3-40　在平面内取线

例3-15　判断KL是否在△ABC平面内（见图3-41）。

分析　根据直线在平面内的几何条件可知，若直线KL在平面ABC内，则直线KL或者与平面内两已知直线相交，或者与其中一条相交，与另一条平行。

作图　（1）延长k'l'，与a'c'、b'c'分别交于点1'、2'；

（2）分别在ac、bc上求出点1、2，并连接点1、2，看12和kl是否在一条直线上。如图3-41所示，显然线段12和kl不在一条直线上，所以KL不在△ABC平面内。

图3-41　判断直线是否在平面内

2.平面内的投影面平行线

平面内的投影面平行线既要满足投影面平行线的投影特性，又要满足直线在平面内的条件。由于投影面平行线作图方便，又有很多直接可量的投影特性，如反映实长、夹角等，所以为了解题的需要，经常用它作为辅助线。

例3-16　在△ABC平面内任作一正平线（见图3-42）。

分析　因为正平线的水平投影平行于X轴，所以可先作水平投影，再求正面投影。

作图　（1）过水平投影上任一点作直线平行于X轴，如过a作ad∥X轴；

（2）求出d的正面投影d'，则AD即为正平线。本例有无穷解。

例3-17　在△ABC中，求距H面为15 mm的水平线（见图3-43）。

图3-42　平面内的正平线

图3-43　平面内的水平线

分析　水平线的正面投影平行于X轴，所以可先作正面投影，再求水平投影。

作图　（1）取Z=15，作e'f'∥X轴，与a'b'、b'c'分别交于点e'、f'；

（2）分别在ab、bc上求出点e、f，连e、f，则EF即为所求。

3.平面内对投影面的最大斜度线

平面内的最大斜度线是垂直于该平面内的投影面平行线的直线。最大斜度线有三种：对水平面H的最大斜度线、对正平面V的最大斜度线、对侧平面W的最大斜度线。

下面以平面P内对水平面H的最大斜度线为例（见图3-44（a）），来分析最大斜度线的投影特性。(https://www.chuimin.cn)

P为一般位置平面，AB为平面P内一水平线，若过平面P内点N作一直线NM垂直于AB（同样也垂直于迹线PH），作一任意斜线NM1，这时两直线与H面的夹角分别为α和α1。由图3-44（a）可知，NM＞NM，可以作出直角三角形，如图3-44（b）所示，所以α＞α1。由此可知，过平面内任一点N所作的直线中，垂直于水平线AB的直线MN与H面的夹角最大，故直线NM称为平面P内对水平面H的最大斜度线。

图3-44　平面内的最大斜度线

显然，α角为最大斜度线NM对H水平面的倾角，也是平面P与H水平面的夹角。因此可用最大斜度线测定平面与投影面的夹角。从以上分析可知，最大斜度线有如下投影特性：

（1）平面内的最大斜度线是垂直于该平面内的投影面平行线的直线；

（2）平面内的最大斜度线反映平面与投影面的夹角。

例3-18　求作△ABC平面对H、V面的倾角α、β（见图3-45）。

图3-45　作平面对H、V面的倾角

分析　可用对H、V面的最大斜度线来求α、β角。求出最大斜度线后，再用直角三角形法或用换面法求α、β角。

作图　（1）过点A作水平线AD（ad，a'd'）；

（2）过点B作BE⊥AD（be⊥ad）；

（3）在水平投影中用直角三角形法求α角，如图3-45（a）所示。

同理，如图3-45（b）所示，作出正平线AF的垂线CG，CG即为△ABC平面对V面的最大斜度线，再用直角三角形法求β角。

4.平面内的点