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基础多元线性回归统计分析

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：多元线性回归的数学模型可以用矩阵形式表示为1.参数β的最小二乘估计设b0，b1，…表4-1 回归正交设计计算表通过推导，可以得到方差分析表4-2。表4-2 方差分析表3.回归方程的显著性检验F＞Fα 若式成立，我们可以认为在显著水平α下，线性回归方程（4-6）是有显著意义的。反之，则认为线性回归方程没有什么意义，这时需要查明原因，具体情况具体分析。

多元线性回归的数学模型可以用矩阵形式表示为

1.参数β的最小二乘估计

设b₀，b₁，…，b_p分别是β₀，β₁，…，β_p的最小二乘估计，则回归方程为

全部观察值y_α（α=1，2，…，N）与回归值的偏差平方和：

为使Q值最小，则有下式成立：

上式可以进一步转化为

由于采用了正交设计方案，故有

显然该方程组对应的系数矩阵是对称矩阵。若用A表示，形式如下：

相关矩阵为

常数矩阵B可表示为

(https://www.chuimin.cn)

方程组（4-9）的矩阵形式是

Ab=B （4-14）

于是参数β的最小二乘估计b=A^-1B，即

2.线性回归正交设计计算

回归正交设计计算见表4-1。

表4-1 回归正交设计计算表

通过推导，可以得到方差分析表4-2。

表4-2 方差分析表

3.回归方程的显著性检验

F＞F_α（p，N-p-1）（4-16）

若式（4-16）成立，我们可以认为在显著水平α下，线性回归方程（4-6）是有显著意义的。反之，则认为线性回归方程没有什么意义，这时需要查明原因，具体情况具体分析。

4.回归系数的显著性检验

t_p＞t_α（N-p-1）（4-17）

若式（4-17）成立，我们就可以认为在显著水平α下，回归函数与变量x_p间有明显的线性关系。