最后，是从因果思维转向相关思维。当全部数据都加入分析的时候，只要有一个反例，因果关系就不成立，因此在大数据时代，因果关系变得几乎不可能。大数据透露出来的信息，确实会得出颠覆性的结论，所以我们不能用因果关系去探求其中的关联，而应该用相关思维去利用大数据带来的结论与价值。......
2025-09-29
三角形的五心：古巴比伦人到欧几里得时代的研究
【摘要】：关于三角形“五心”的最早发现,可追溯到古巴比伦人,其时间大约在公元前1700 年。基于生产实践经验,古巴比伦人已会求给定等腰三角形的外接圆半径等。可以推测,泰勒斯、毕达哥拉斯等数学家应对三角形的“五心”有所研究和发现,故至欧几里得时代“五心”均已被发现和研究。命题2 在已知圆内作一个与已知三角形等角的内接三角形。
关于三角形“五心”的最早发现,可追溯到古巴比伦人,其时间大约在公元前1700 年。 基于生产实践经验,古巴比伦人已会求给定等腰三角形的外接圆半径等。 其佐证是在现代伊朗发现的古巴比伦人泥板上记载:假设等腰三角形的高为40,底为60,则三角形的外接圆半径为31.25。
可以推测,泰勒斯、毕达哥拉斯等数学家应对三角形的“五心”有所研究和发现,故至欧几里得时代“五心”均已被发现和研究。 可能欧几里得认为,只有最重要的定理方能入选其著作,因而未把垂心定理和旁心定理收集到《几何原本》中。
在《几何原本》第四卷中,欧几里得首先给出“内接于圆”“外切于圆”“圆内切于图形”和“圆外切于图形”等定义,设有四个命题讨论了圆与三角形的关系。
命题2 在已知圆内作一个与已知三角形等角的内接三角形。
命题3 在已知圆外作一个与已知三角形等角的外切三角形。
命题4 求作已知三角形的内切圆。
命题5 求作已知三角形的外接圆。
图3.11.5 《几何原本》第4 卷命题4(https://www.chuimin.cn)
图3.11.6 《几何原本》第4 卷命题5
在命题5 中,欧几里得分3 种情形进行了讨论,其中第二种情形就是泰勒斯定理的推广。
阿基米德对三角形的重心进行了研究,并把结论推广到弓形、抛物线形等其它复杂图形。
三角形的外心、重心和垂心如此重要,你一定会想到它们之间有着某种联系。 1765 年,“数学家之英雄”欧拉在《三角形的几何学》中,发现和证明了欧拉线,即有欧拉定理:三角形的外心、垂心和重心都在一条直线上,而且外心和重心的距离为垂心和重心距离的一半。
显然,在图3.11.7 的直角三角形中,垂心H 与点B 重合,外心O 则是斜边AC 的中点,此时欧拉线成为斜边的中线。
图3.11.7 欧拉线
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