对于给定的数列｛xn｝，我们讨论当项数n无限增大时（记作n→∞），对应项的变化趋势.观察上面的四个数列，容易看出，当n→∞时，数列趋于1；数列各项的值在数1的两侧来回交替着变化，且越来越接近1；数列｛2n－1｝越来越大，无限增大；数列｛1－（－1）n｝各项的值永远在0与2之间交互取得，而不与某一数接近.如果当n→∞时，数列的项xn能无限接近于某个常数A，则称这个数列为收敛数列，常数A称为当n→∞时......
2025-09-30
自变量x趋无穷大时的函数极限：高等数学上册
【摘要】：观察函数当x趋近于∞时发现：当x趋近于∞时对应的函数值无限地与数值0接近，即当因此数值0为函数当x→∞时的极限.设a为某常数，如果当｜x｜无限增大时，函数f（x）与a可无限地接近，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作或f（x）→a（当x→∞时）.式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程，在数轴上看，“x→∞”表示x沿着数轴向两边（或分别向右、左）移动，并离原点的距离越来越远，直至无
观察函数
当x趋近于∞时发现：当x趋近于∞时
对应的函数值无限地与数值0接近，即当
因此数值0为函数
当x→∞时的极限.
设a为某常数，如果当｜x｜无限增大时，函数f（x）与a可无限地接近，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作
或f（x）→a（当x→∞时）.
式“x→∞”表示自变量x的绝对值无限增大的变化过程，在数轴上看，“x→∞”表示x沿着数轴向两边（或分别向右、左）移动，并离原点的距离越来越远，直至无限远，这种变化过程称为x趋于无穷大，记作x→∞.用｜x｜表示x与原点的距离，则x→∞就是｜x｜越来越大，若用X表示一个很大的正数，则不等式｜x｜＞X表示x是那些与原点的距离比X还远的点.
式“f（x）→a”表示函数f（x）与常数a可无限接近的变化趋势.如果任取小正数ε，则式｜f（x）－a｜＜ε就表示函数f（x）与a的距离之小，可以小于预先任意给定的小正数ε.
极限
表达了一个因果关系：若条件“x→∞”成立，就有结论“f（x）→a”成立.因此也可理解成：当x离原点的距离充分远，即｜x｜充分大时，函数f（x）与a可充分地接近；当x离原点的距离无限远，即｜x｜无限大时，则函数f（x）与a就无限地接近.
因此极限
的意思是：对于预先任意给定的小正数ε，式子｜f（x）－a｜＜ε成立的条件是｜x｜要充分大.这个“充分大”，我们用式子｜x｜＞X表示（这时｜x｜比X还大）.这里X表示足够大的正数，因此如果相应于前面给定的ε，存在一个足够大的数X，当满足条件｜x｜＞X时（x充分大时），对应的函数值就满足不等式｜f（x）－a｜＜ε（函数f（x）与a就充分地接近），由于ε可以无限小，函数f（x）与a就能无限地接近，因此就有极限
由此，我们得到自变量x无限增大时函数极限的精确定义.
定义1 设函数f（x）在｜x｜大于某一正数时有定义，a为某常数，如果对任意给定的小正数ε，总存在一个正数X，使得当｜x｜＞X时，不等式｜f（x）－a｜＜ε都成立，则称a是函数f（x）当x→∞时的极限，记作
（若定义1中的常数a不存在，就称极限
不存在，或称f（x）当x→∞时发散.）
定义1可用ε－X语言简单地表述为若∀ε＞0，∃X＞0，使得当｜x｜＞X时，恒有｜f（x）－a｜＜ε成立，则称函数f（x）当x→∞时的极限为a，记作
a.
从几何上看
的意义是：对于∀ε＞0，必∃X＞0，使得当x满足｜x｜＞X时，曲线y＝f（x）上对应的点一定落在两条直线y＝a＋ε和y＝a－ε之间（图1－19）.
图1－19
例1 证明
证 ∀ε＞0，由不等式(https://www.chuimin.cn)
解得
因此只要取
即有
∀ε＞0，当｜x｜＞X时，不等式
恒成立.即
例2 证明
证 ∀ε＞0，由不等式
解得
因此只要取
即有
∀ε＞0，当｜x｜＞X时，不等式
恒成立.即
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