初等函数及其反函数-高等数学上册

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：1）反函数设函数y＝f（x）的定义域为D，值域为f（D），在函数y＝f（x）中，x为自变量，y为因变量，x可以独立取值，而y却按确定的法则随x而定，即函数y＝f（x）反映的是y怎样随x而定的法则；反过来，对于y∈f（D），若D内总有确定的x与之对应，使得f（x）＝y成立，这样得到一个以y为自变量，x为因变量的函数，称该函数为y＝f（x）的反函数，记作x＝f－1（y），其定义域为f（D），值域为D.

1）反函数

设函数y＝f（x）的定义域为D，值域为f（D），在函数y＝f（x）中，x为自变量，y为因变量，x可以独立取值，而y却按确定的法则随x而定，即函数y＝f（x）反映的是y怎样随x而定的法则；反过来，对于∀y∈f（D），若D内总有确定的x与之对应，使得f（x）＝y成立，这样得到一个以y为自变量，x为因变量的函数，称该函数为y＝f（x）的反函数，记作x＝f－1（y），其定义域为f（D），值域为D.即反函数x＝f－1（y）反映的是x怎样随y而定的法则.

一般地，若y＝f（x）是单值函数，其反函数x＝f－1（y）不一定是单值函数.例如单值函数y＝x2有两个单值反函数，当x≥0时对应的反函数为当x≤0时对应的反函数为

可以证明若y＝f（x）是单值、单调的函数，则其反函数x＝f－1（y）也是单值、单调的.

习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，所以反函数x＝f－1（y）常记作y＝f－1（x）.

反函数的实质体现在它所表示的对应规律上，与原来的函数相比，自变量与因变量的地位对调了，对应法则也变了，至于用什么字母来表示反函数中的自变量与因变量并不重要.即反函数中自变量与因变量的记号可以变，但对应规律与定义域不能变，例如表1－1所示.

表1－1

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设函数y＝f（x）与y＝f－1（x）互为反函数，如果将它们的图形画在同一个坐标平面上时，则它们的图形关于直线y＝x对称，利用这一性质，由函数y＝f（x）的图形很容易画出其反函数y＝f－1（x）的图形.

2）复合函数

在实际问题中，有时需要把两个或更多个函数组合成另一个新的函数.

例如，我们知道，一个质量为m的沿直线运动的物体，速度为v时，其动能为当物体作自由落体时，速度为v＝gt，则这时其动能为抽象出数学模型，即已知函数与v＝gt，将v＝gt代入E中，得.这样，E通过变量v成为t的函数，数学上称这种形式的函数为复合函数.又如，y＝lgu，u＝sinx复合成y＝lgsinx，这里0＜sinx≤1，即x∈（2kπ，（2k＋1）π），k∈Z.

定义6　设函数y＝f（u）的定义域为U，函数u＝φ（x）在D上有定义，对应的值域φ（D）⊂U，则∀x∈D，经过中间变量u，相应地得到确定的值y，于是y通过u而成为x的函数，记作

y＝f［φ（x）］　（x∈D）

称y＝f［φ（x）］是由函数y＝f（u）与u＝φ（x）复合而成的函数，简称复合函数，其中u称为中间变量.

例如简谐振动f（t）＝Asin（ωt＋φ）是由简单函数g（u）＝Asinu与u＝ωt＋φ复合而成.

复合函数也可以由两个以上的函数复合而成，例如y＝lntanx2是由函数y＝lnu，u＝tanV，V＝x2三个函数复合而成.

需要注意的是函数u＝φ（x）的值域φ（D）不能超出函数f（u）的定义域U，否则就不能复合成一个函数.因此复合函数y＝f［φ（x）］的定义域是使得函数u＝φ（x）的值包含在函数y＝f（u）的定义域U内的一切x的集合D.即

D＝｛x｜φ（x）∈U｝

今后，为了研究的方便，常需要将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合.

例3　设f（x）的定义域是开区间（1，2），求f（x2＋1）的定义域.

解　令u＝x2＋1，由于f（u）的定义域为（1，2），则

1＜x2＋1＜2

解得

－1＜x＜0　或　0＜x＜1

因此函数f（x2＋1）的定义域为（－1，0）∪（0，1）.

例4　设 pagenumber_ebook=22,pagenumber_book=11

解　　 pagenumber_ebook=22,pagenumber_book=11

故有：当x≠0时，g（x）＝x2＞0，则f［g（x）］＝［g（x）］2＝x4；当x＝0时，g（x）＝0，则f［g（x）］＝g（x）－1＝－1.

综上得

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3）基本初等函数

在初等数学中，已详细地讨论过幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的概念及其性质.下面对它们作简要概括.

（1）幂函数

形如y＝xμ（μ为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数y＝xμ的定义域，则要根据μ来确定，如当μ＝1时，y＝x，其定义域是（－∞，＋∞）；当时，y＝其定义域是［0，＋∞）；当其定义域是（0，＋∞）.但不论μ取什么值，幂函数在（0，＋∞）内总有定义.取，－1时对应的幂函数最常见，它们的图形如图1－6所示.

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图1－6

（2）指数函数

形如y＝ax（a是常数且a＞0，a≠1）的函数称为指数函数，其定义域为（－∞，＋∞）.且对∀x∈（－∞，＋∞），总有ax＞0，又a0＝1，所以指数函数的图形总在x轴的上方，且都通过点（0，1）.

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图1－7

当a＞1时，指数函数y＝ax单调增加；当0＜a＜1时，指数函数y＝ax单调减少.由于所以y＝ax的图形与的图形关于y轴对称（图1－7）.

（3）对数函数

将指数函数y＝ax的反函数称为对数函数，其定义域为（0，＋∞），记作

y＝logax　（a＞0，a≠1）

由反函数的性质可知，上述对数函数的图形与指数函数y＝ax的图形关于直线y＝x对称.因此由曲线y＝ax的图形，就可得y＝logax的图形（图1－8）.

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图1－8

由图1－8可知，函数y＝logax的图形总在y轴右方，且通过点（1，0）.

当a＞1时，对数函数y＝logax单调增加，在区间（0，1）内函数值为负，而在区间（1，＋∞）内函数值为正.当0＜a＜1时，对数函数y＝logax单调减少，在（0，1）内函数值为正，而在区间（1，＋∞）内函数值为负.

以常数e为底的对数函数称为自然对数，记作y＝lnx，自然对数常用于工程技术中.(https://www.chuimin.cn)

（4）三角函数

常用的三角函数有：正弦函数y＝sinx（图1－9），余弦函数y＝cosx（图1－10），正切函数y＝tanx（图1－11），余切函数y＝cotx（图1－12）.

正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都为（－∞，＋∞），值域都为闭区间［－1，1］.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.由于所以把正弦曲线y＝sinx沿x轴向左移动距离就得到余弦曲线y＝cosx.

正切函数y＝tanx的定义域 pagenumber_ebook=24,pagenumber_book=13 余切函数y＝cotx的定义域D＝｛x｜x∈R，x≠nπ，n∈Z｝，这两个函数的值域都是（－∞，＋∞）.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数.

这四个函数的图形如图1－9至图1－12所示.

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图1－9

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图1－10

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图1－11

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图1－12

另外还有两个常用的以2π为周期的三角函数，它们分别是正割函数y＝secx与余割函数y＝cscx，其中正割是余弦的倒数，余割是正弦的倒数，即

（5）反三角函数

下面简单介绍反三角函数的概念及其性质.

反三角函数是指三角函数的反函数，反三角数都是多值函数，为此限制正弦函数y＝sinx的定义域为余弦函数y＝cosx的定义域为［0，π］，则正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx在指定的区间上单值、单调，因此在相应的值域［－1，1］上存在单值、单调的反函数，分别称为反正弦函数y＝arcsinx与反余弦函数y＝arccosx.由此反正弦函数y＝arcsinx的定义域为［－1，1］，值域为是单调增加的函数；反余弦函数y＝arccosx的定义域为［－1，1］，值域为［0，π］，是单调减少的函数.其图形分别如图1－13（a）、（b）所示.

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图1－13

与上面的反正弦、反余弦函数类似，我们限制正切函数y＝tanx的定义域为余切函数y＝cotx的定义域为（0，π），则正切函数y＝tanx与余切函数y＝cotx在指定的区间上单值、单调，因此它们在相应的值域（－∞，＋∞）内存在单值、单调的反函数，分别称为反正切函数y＝arctanx与反余切函数y＝arccotx.由此反正切函数y＝arctanx的定义域为（－∞，＋∞），值域为是单调增加的函数；反余切函数y＝arccotx的定义域为（－∞，＋∞），值域为（0，π），是单调减少的函数.其图形分别如图1－14（a）、（b）所示.