高等数学学习指导：函数、极限与连续

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：知识要点一、函数的概念1.函数、反函数、基本初等函数、初等函数、复合函数的定义.2.理解函数记号y=f（x）中“f”的意义.函数的两个要素，对于两个或两个以上的函数，只有定义域和对应法则完全相同时才是同一函数.3.弄清基本初等函数的概念，熟悉这些函数的特性.4.求f（x）的定义域.对于较复杂的函数求定义域问题，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集.5.函数的重要性质：有界性，奇偶性，周

知识要点

一、函数的概念

1.函数、反函数、基本初等函数、初等函数、复合函数的定义.

2.理解函数记号y=f（x）中“f”的意义.函数的两个要素，对于两个或两个以上的函数，只有定义域和对应法则完全相同时才是同一函数.

3.弄清基本初等函数的概念，熟悉这些函数的特性.

4.求f（x）的定义域.对于较复杂的函数求定义域问题，就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组的解集.

5.函数的重要性质：有界性，奇偶性，周期性，单调性.

6.复合函数的复合过程，弄清自变量、中间变量和因变量.清楚y=f（u），u=φ（x）复合成y为x的函数满足的条件.

二、极限

1.极限的概念.

2.极限的计算方法：

（1）利用极限四则运算法则求极限，要注意该法则是极限都存在的条件下才能使用，当出现 pagenumber_ebook=6,pagenumber_book=1 或“∞-∞”等情况，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限.

（2）利用两个重要极限求极限：

（3）利用无穷小的性质求极限.

（4）利用等价无穷小代换求极限.

常用等价无穷小量有：当x→0时，sinx～x，tanx～x，1-cosx～，arcsinx～x，ex-1～x，ln（1+x）～x，（1+x）m-1～mx.

（5）利用函数的连续性求极限（函数在x0点连续，则极限值等于函数值）.

（6）利用极限存在的充分必要条件求极限.

一般地，求分段函数在分界点处的极限时，要考虑左、右极限.

三、函数的连续

1.函数的连续性：

理解连续函数的定义.如果，则f（x）在x=x0点处连续.

2.间断点及分类：

如果函数f（x）在点x0处不连续，则称f（x）在点x0处间断，点x0称为f（x）的间断点.函数f（x）在间断点的左右极限都存在的间断点为第一类间断点，而f（x）在间断点左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.

四、闭区间上连续函数的性质

1.函数f（x）在［a，b］上连续，则一定有最大值和最小值.

2.知道闭区间上连续函数的介值定理与零点定理.

3.会用零点定理判断及证明函数方程在指定区间中根的存在性.

例题选讲

例1　求函数 pagenumber_ebook=7,pagenumber_book=2 的定义域.

解　要使函数有意义，x应满足

∴　函数的定义域为［1，4）.

例2　设f（x）的定义域是［0，1］，则f（x+1）的定义域是（　）.

A.［-1，1］　B.［-1，0］　C.［1，2］　D.［0，2］

解　要使f（x+1）有意义

∴　0≤x+1≤1，　-1≤x≤0

∴　选B.

例3　函数f（x）=ex+e-x的图像对称于直线（　）.

A.y=x　B.y=-x　C.y=0　D.x=0

解　该题实际上是判定f（x）的奇偶性.

∵　f（-x）=e-x+ex=f（x）

∴　f（x）为偶函数.由偶函数的特性知图像关于y轴对称.故选D.

说明：判断函数奇偶性的方法主要是根据定义及奇偶函数的运算性质.特别注意定义域的对称性.(https://www.chuimin.cn)

例4　设 pagenumber_ebook=7,pagenumber_book=2 ，求f（x）.

分析：可用变量代换法或根据所给表达式直接“拼凑”.

解　方法一：变量代换法

令，代入原式有

f（t）=1+（t-1）2+（t-1）=t2-t+1

再将t换成x得

f（x）=x2-x+1.

方法二：直接拼凑法

于是　f（x）=x2-x+1　（x≠1）

例5　求下列各数列的极限.

分析：（1）极限呈“∞-∞”型未定式极限，需先分子有理化后，再求极限.

（2）先找到数列前n项和的解析式，再求极限.

说明：在求极限时，经常会碰到极限四则运算不能直接应用，此时需先进行适当的恒等变换化为型，再通过分子有理化或约去使分母的极限为零的非零因子，从而求得极限.

例7　求极限

分析：由于函数在x=1处连续，所以可利用函数的连续性求极限.

解　由于f（x）在x=1处连续

说明：如果函数f（x）在点x0连续，可根据求极限.

例8　求极限 pagenumber_ebook=8,pagenumber_book=3 .

分析：本题是型极限，可先通过分解因式约去致零因子，再求极限.

分析：先需要分子、分母有理化，然后再求极限.

说明：例8、9、10题都是型极限，求极限常用方法如下：

（1）当函数是有理式时，可通过分解因式消去使分母为零的因式，再求极限；当函数是无理式时，可通过分子、分母有理化消去使分母为零的因式，再求极限.

（2）当函数中含有三角函数时，往往通过三角恒等变形，再利用求极限，或利用等价无穷小代换法求极限.此方法只能在乘积和商中进行，不能在加减运算中代换，否则会导致错误结论.

例11　当x→0时，ln（1+x）与arcsinx是（　）.

A.同阶无穷小　B.等价无穷小　C.高阶无穷小　D.低阶无穷小

解　该题是两个无穷小量的比较，实际是求两个函数比值的极限.

∴　选B.

例12　求下列函数的极限.

说明：本题（1）、（2）属于第二重要极限，利用公式求解.

例13　设f（x）在x=x0处连续，且.则（　）.

A.f（x0）可能不存在　B.f（x0）＞1　C.f（x0）＜1　D.f（x0）=1

解　利用函数连续的定义，则f（x0）=1.故选D.

说明：在求极限过程中，要会利用“无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量”进行计算.

例17　设 pagenumber_ebook=11,pagenumber_book=6 问a，b为何值时，f（x）在（-∞，+∞）内连续.

分析：因为初等函数在其定义域内是连续的，因而要使f（x）在（-∞，+∞）内连续，只需讨论x=0处的情形即可.

例18　证明：方程x·2x=1至少有一个小于1的正根.

分析：先设f（x）=x·2x-1.由介值定理的推论（零点定理）加以证明.

证明　设f（x）=x·2x-1

因为f（x）在（-∞，+∞）内连续，所以f（x）在［0，1］内也连续.

又因为f（0）=-1，f（1）=1，

所以至少存在一点ξ∈（0，1），使f（ξ）=0.

故ξ为方程x·2x=1的小于1的正根.

高等数学学习指导：函数、极限与连续

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