小学数学教学设计：和与积的奇偶性案例

2023-08-11 理论教育版权反馈

【摘要】：教学重点探索并发现和与积的奇偶性规律。本节课之前，学生对于加法和乘法算式，更多关注的是和与积的结果，而很少关注和与积的奇偶性，更不会发现奇偶性存在的规律。

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教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》（五年级下册）第50～51页。

教学目标

1.经历探索和与积的奇偶性规律的过程，发现并理解和与积的奇偶性规律，能判断多个整数的和与积是奇数还是偶数。

2.通过举例、观察、比较、猜想与验证，发现和与积的奇偶性规律，积累探索规律的经验，发展观察、比较、分析、概括等思维能力。

3.主动参与探索规律的活动，体会数学知识是具有规律的，获得探索规律成功的体验，树立学好数学的自信心并产生对数学规律的好奇心，产生对数学学习的兴趣。

教学重点

探索并发现和与积的奇偶性规律。

教学难点

归纳和理解和与积的奇偶性规律。

教学过程

一、创设情境，引入课题

谈话：今天是4月23日，是世界读书日。考你们一个关于读书的问题。知道阿瑟·柯南道尔这个人吗？那听说过或者看过这部小说吗？（屏幕出示：《福尔摩斯探案集》）

长篇侦探小说《福尔摩斯探案集》的作者就是英国作家阿瑟·柯南道尔。今天的数学课，我想先请同学们做一回福尔摩斯，帮我“破个案”：

一天，图书管理员小周发现班级图书角刚添的一本新书有一页被人撕掉了，他很气愤，这本书目前只有小马和小杰两人借阅过，肯定是他们两人中的一个人撕的。于是他带着被撕的书找到了小马和小杰询问情况。

小马说：我借这本书看的时候，中间这一张好像已经被撕掉了，我也没太在意，反正我没有撕。

小杰说：这本书我确实很喜欢，被撕掉的那张的内容我都能背下来了，我还清楚地记得被撕掉的那一张正反两页的页码和是138。我完全没必要把它撕下来。

学生发表自己的观点，教师引导学生从页码和的奇偶性的角度进行判断发言，复习奇偶数的特点并引入课题。

小结：看来，两个自然数的和是奇数还是偶数，其中还蕴藏着一些规律呢，今天这节课我们就一起来研究和与积的奇偶性。板书课题：和与积的奇偶性。

【设计说明：如何让学生由表及里、自然而然地生发探索规律的欲望，往往是探索规律教学缘起的关键。本节课之前，学生对于加法和乘法算式，更多关注的是和与积的结果，而很少关注和与积的奇偶性，更不会发现奇偶性存在的规律。课的开始，通过创设悬疑情境，既激发学生的学习热情，又引入本节课的探究，让学生的注意力很自然地从对于具体结果的关注转移到对于结果奇偶性的关注上来。】

二、探索和的奇偶性规律

谈话：看到这个课题，你有什么问题想问吗？（例如，什么是和的奇偶性；和的奇偶性与什么有关，有什么关系；和的奇偶性有什么作用。）

1.提出猜想。

屏幕出示：□+□=□。

（1）你们觉得，两个自然数相加的和是奇数还是偶数，与什么有关？（两个加数的大小？质数或合数？奇数或偶数……）

（2）两个自然数相加，根据两个加数的奇偶性，算式一共分为几种情况？

板书：奇数+奇数= 偶数+偶数= 奇数+偶数=

（3）对于每种情况，你能提出你的猜测吗？

板书：奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数

指出：这些是同学们在平时练习当中积累和总结出的经验，在验证之前，我们暂且把它们作为我们提出的猜想。那如何验证呢？

【设计说明：牛顿曾说，没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。猜想和验证是一种很重要的数学研究方法，也是培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力的重要途径。对于两个自然数和的奇偶性，学生可以借助之前学习所积累的经验，很轻松地提出自己的猜测，并以一些加法算式为例，初步验证自己的猜测。教师在学生充分交流并初步肯定了自己的猜测之后，带领学生深入思考和的奇偶性规律背后的道理。】

2.验证猜想。

提问：你们觉得如何验证我们的猜想？

（1）指出：我们可以任意举几个例子看一看，每次任意选两个不是0的自然数，算出它们的和，看看和是奇数还是偶数。

（2）提问：刚才我们通过举例初步验证了我们的猜想。为什么两个数相加，和的奇偶性会存在这样的规律呢？我们能不能想办法找到它的内在原因呢？老师给大家提供了一些证明的思路，请看大屏幕。

A.利用奇数和偶数的特点进行验证。

根据奇数、偶数的特点，可以知道奇数是一个单数，偶数是一个双数，可以用点子图分别表示如下：

奇数

偶数

将这两幅图合并后就得到奇数与偶数之和的点子图：

显然它表示一个奇数，即奇数与偶数之和是奇数。其他情况你能像这样进行验证说明吗？

B.借助字母式子进行验证。

我们可以用2a、2b……表示偶数，用2m+1、2n+1……表示奇数，那么……

前后四人小组讨论，然后指名交流。

（3）解决破案问题。

现在，你能用和的奇偶性的知识，解决刚才的撕书问题了吗？

指出：一张为相邻的两页，一个是奇数，一个是偶数，它们的和一定是奇数，不可能是138页，所以小杰说谎了。

【设计说明：学生并不难发现两个自然数和的奇偶性规律是什么，但为什么会存在这样的规律？和的奇偶性规律的内涵则需要学生通过多种方式进行领悟，只有学生真正悟出了规律的内在道理，学生所发现的客观存在的规律才能真正内化为学生思维内在的规律。本环节，先让学生讨论交流，充分体验举例说明、抽象、演绎等方法描述规律的过程，再带领学生从奇数、偶数特点的角度领悟和的奇偶性规律的本质，从而让学生真正领悟规律的内涵。】

3.发现3个数相加的规律。

刚才我们发现了两个自然数的和的奇偶性的特征，请你判断下面算式的结果是奇数还是偶数？（不用计算）

1024+2048 1357+731 246+119

学生判断这个算式的结果是奇数还是偶数，并说明理由，出示：23+16+35。

A.算出结果再判断；B.运用两个数相加奇偶性的规律来判断。

指出：3个数相加，也可以运用两个数和的奇偶性规律，把3个数相加转化成两个数相加，从而判断和的奇偶性。

继续看屏幕，出示：68+104+26 171+93+245。

提问：对于和的奇偶性的研究，你觉得可以到此结束了吗？你还联想到什么？更多个数相加，和的奇偶性如何判断？

请发言同学出一道5个数相加的算式，教师板书，别的同学们想办法判断和的奇偶性。然后，指名说一说判断的思路。

4.探索n个数相加的规律。

屏幕出示：1+2+3+……+99+100。

前后4人讨论，教师指名汇报。

A.运用高斯求和公式算出结果5050，是偶数。

B.两两相加判断和的奇偶性，直至最终判断出整个算式的结果的奇偶性。

C.先将奇数和偶数进行分类，然后50个奇数两两配对和是偶数，50个偶数的和肯定是偶数，最终得出偶数+偶数=偶数。

总结：看来，无论加数个数有多少个，只要我们开动脑筋，总能把它转化成两个数和的奇偶性，从而判断出若干个数和的奇偶性。

学生讨论，教师指名交流，得出结论：

A.若m为奇数，那么m个奇数的和就是奇数，n个偶数的和一定是偶数，所以m是奇数时，这个算式的和是奇数；

B.若m为偶数，那么m个奇数就可以配成（m÷2）对，和是偶数，n个偶数的和一定是偶数，所以m是偶数时，这个算式的和是偶数。

小结：看来，若干个数相加，和的奇偶性主要由加数中奇数的个数决定。加数里奇数的个数是奇数，和就是奇数，奇数的个数是偶数，和就是偶数，这就是和的奇偶性规律。

【设计说明：探索规律的教学绝不会止步于总结出规律，必须让学生运用规律解决问题，而在运用规律的过程中，往往会有新的发现，从而丰富原有规律，发现新的规律。这一环节教师设计的3个连加算式23+16+35、68+104+26、171+93+245，看似平淡、随意，实际上暗藏玄机。第一道算式让学生明白只要掌握了两个数和的奇偶性规律，就可以通过多次运用，判断多个数和的奇偶性规律。第二道算式让学生自主总结发现，无论多少个偶数相加，和一定是偶数。第三道算式让学生先由第二道算式负迁移，发现错误结论，再通过深入研究得出若干个奇数和的奇偶性规律。在此基础上，学生很顺利地总结出任意个数和的奇偶性规律。学生在用中学，在学中用，教学过程由学生的思维过程推动，规律也在运用的过程中不断完善和丰富。】

三、探索积的奇偶性规律

谈话：刚才我们通过观察、比较，发现了和的奇偶性规律。由此你还有什么联想吗？（积是不是也有类似的规律？）

请同学们按照刚才的办法，自己举例子，任意写出乘法算式，计算结果看看是奇数还是偶数，然后观察，比较，自己寻找积的奇偶性的规律。

交流汇报：你举出了哪些例子？积分别是奇数还是偶数？（根据学生交流，按积是奇数还是偶数分类板书算式）

你发现积是奇数还是偶数与什么有关系？你发现什么规律？

小结：乘数都是奇数，积就是奇数；乘数中只要有偶数，积就是偶数。

追问：看乘法的积是奇数还是偶数，只要看什么？

判断：1×2×3×……×99×100的积是奇数还是偶数。

【设计说明：在课的最后环节，教师不再步步陪同，而是放手让学生自己去探索积的奇偶性规律。规律只有是学生自己“找”出来的，才是真正属于学生自己的规律。】

四、回顾反思，交流收获

提问：回顾今天探索和发现和与积的奇偶性规律的过程，你有哪些体会和收获，和大家交流。

小结：通过举例、观察、比较，寻找不同算式的共同的特点，可以发现其中的规律，通过对规律的进一步研究，我们还能发现更多的规律。

【设计总评：数学学习的过程离不开对于数量关系和空间形式的规律的探寻。探索规律的过程是明晰数学思想方法、不断逼近数学本质的过程，是培养合情推理和演绎推理能力、发展创新意识和品质的过程。探索规律理应是充满探索味道的。探索规律的教学必须首先明确规律的隐蔽性，通过激趣、猜测、验证、领悟、运用、探寻等多个环节的“光合作用”，才能让规律在学生心中生根、发芽，也才能让探寻规律的过程在学生以后的学习生活中开花、结果。】

【问题与讨论】

从教材内容安排的篇幅看，探索和的奇偶性内容占了大半篇幅，而探索积的奇偶性只是寥寥数语，这样安排的原因有哪些？

小学数学教学设计：和与积的奇偶性案例

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