一、二元函数极限与连续、偏导数及二阶偏导数计算

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.二元函数极限与连续的概念设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）的某个去心邻域{（x，y）|0<（x-x0）2+（y-y0）2<δ2}（其中，δ是某正数）内有定义.如果动点（x，y）以任何方式无限趋于点（x0，y0）时，f（x，y）总是无限趋于常数A，则称A是点（x，y）趋于点（x0，y0）（记为（x，y）→（x0，y0））时f（x，y）的极限，记为或注根据定义，可以按以下方法判

【主要内容】

1.二元函数极限与连续的概念

设二元函数f（x，y）在点（x₀，y₀）的某个去心邻域{（x，y）|0<（x-x₀）2+（y-y₀）2<δ²}（其中，δ是某正数）内有定义.如果动点（x，y）以任何方式无限趋于点（x₀，y₀）时，f（x，y）总是无限趋于常数A，则称A是点（x，y）趋于点（x₀，y₀）（记为（x，y）→（x₀，y₀））时f（x，y）的极限，记为或

注根据定义，可以按以下方法判定是否存在：

（ⅰ）如果点（x，y）按某种方式趋于点（x₀，y₀）时，f（x，y）不趋于任一值，则不存在；

（ⅱ）如果点（x，y）按某两种方式趋于点（x₀，y₀）时，f（x，y）趋于两个不同值，则不存在.

设二元函数f（x，y）在点（x₀，y₀）的某个邻域内有定义.如果，则称f（x，y）在点（x₀，y₀）处连续.

如果f（x，y）在区域D的每一点处都连续，则称f（x，y）在区域D上连续.

注当f（x，y）是有界闭区域D上的连续函数时，它有以下性质：

（ⅰ）f（x，y）在D上必有最大值和最小值，即在D上存在点（x₀，y₀）和（x₁，y₁），使得

f（x₀，y₀）=M（f（x，y）在D上的最大值），f（x₁，y₁）=m（f（x，y）在D上的最小值）

（ⅱ）f（x，y）可以取到其在D上的最小值m和最大值M之间的任何值C，即存在（ξ，η）∈D，使得f（ξ，η）=C.

2.二元函数偏导数的定义与计算

设二元函数f（x，y）在点（x₀，y₀）的某个邻域内有定义.如果极限

存在，则称这个极限值为f（x，y）对x（或y）的偏导数，记为（或

根据定义，f_x′（x₀，y₀）与f_y′（x₀，y₀）可分别通过计算函数f（x，y₀）在点x₀处的导数与函数f（x₀，y）在点y₀处的导数得到.

注当（x，y）是区域D上的任一点时，f（x，y）在该点对x（或对y）的偏导数为f_x′（x，y）简记f_x′，或称为偏导函数（简称偏导数），它们往往是关于x，y的二元函数.

3.二元函数二阶偏导数的定义与计算

设二元函数f（x，y）的偏导函数f_x′（x，y），f_y′（x，y）在点（x₀，y₀）仍有偏导数，则称这些偏导数为f（x，y）在点（x₀，y₀）的二阶偏导数，记为，或对应地记为f_x″_x（x₀，y₀），f_x″_y（x₀，y₀），f_y″_x（x₀，y₀），f_y″_y（x₀，y₀）.

根据定义，f_x″_x（x₀，y₀）可以通过计算f（x，y₀）在点x₀处的二阶导数得到，f_y″_y（x₀，y₀）可以通过计算f（x₀，y）在点y₀处的二阶导数得到，而f_x″_y（x₀，y₀）可以通过计算f_x′（x₀，y）在点y₀处的导数得到，f_y″_x（x₀，y₀）可以通过计算f_y′（x，y₀）在点x₀处的导数得到.