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2023-10-30
推导拉普拉斯方程
【摘要】：由于液体具有表面张力，液面往往显示不同程度的弯曲，弯曲液面的一个根本特性就是曲面两侧存在压力差。相应地AB边长由x变为x+dx，BC边长由y变为y+dy，AA′的距离为dz，于是面积增量为dA=-xy=xdy+ydx 体积增量为dV=xydz 式变为由相似三角形的比较可知：代入式可得若液面为球形，R1=R2=R，式变为图3-1-4任意曲面元的扩大示意图式就是著名的拉普拉斯方程。
由于液体具有表面张力，液面往往显示不同程度的弯曲，弯曲液面的一个根本特性就是曲面两侧存在压力差。例如，用一根小管吹肥皂泡后，必须把管的另一端堵住，泡才能存在，否则就自行收缩了。这就是因为弯曲液面两侧有压力差。此压力差与体系的关系可推导如下：
设容积一定的箱中有一液滴，箱中大气压力为p，液滴内部压力为p′=p+Δp，根据平衡条件，在恒温时，
dG=-p′dVl-pdVg+σdA=0 （3-1-7）
其中，下标l和g分别表示液体和气体。因为体系总体积恒定，dVl=-dVg，可得
（p-p′）dVl+σdA=0 （3-1-8）
于是：
考虑任意曲面上的一个小面积元ABCD，其主半径为R1及R2（图3-1-4）。体积扩大dV时，液面扩大dA，面积元变为A′B′C′D′。相应地AB边长由x变为x+dx，BC边长由y变为y+dy，AA′的距离为dz，于是面积增量为
dA=（x+dx）（y+dy）-xy=xdy+ydx （3-1-10）
体积增量（曲面移动扫过的体积）为
dV=xydz （3-1-11）
式（3-1-9）变为
由相似三角形的比较可知：
代入式（3-1-12）可得
若液面为球形，R1=R2=R，式（3-1-15）变为
图3-1-4任意曲面元的扩大示意图
式（3-1-15）就是著名的拉普拉斯方程。一般情况下，凸液面的液相压力大于气相，Δp＞0，R取正值；凹液面的液相压力小于气相，Δp＜0，R取负值；若为平液面时，则两相压力相等，Δp=0，R→∞。
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2023-06-22
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2023-06-22
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