伯努利方程式：流动液体的能量方程式

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：伯努利方程是能量守恒定律在流动液体中的表现形式。因而液体AB 段在Δt 时间流动时动能变化为:根据动能定理,外力所做功的总和等于液体能量的增量,即故有:将上式两边分别除以Δmg,整理得:或式和式称为理想液体的能量方程,一般称为理想液体的伯努利方程。式称为实际液体的伯努利方程。

伯努利方程是能量守恒定律在流动液体中的表现形式。

(1)理想液体的伯努利方程

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图1.10　理想液体伯努利方程推导

如图1.10 所示,设理想液体在管中作稳定流动,任取一段液流AB 作为研究对象,在很短的时间Δt 内,液体从管道AB 位置流到A′B′位置。设A、B 两截面中心到基准面0-0 的高度分别为h1、h2,通流截面面积分别为A1、A2,压力分别为p1、p2,平均流速分别为v1、v2,现对液体在管中流动时的能量变化进行分析。

1)作用在AB 段流体上的力所做的功

由于是理想液体,所以作用在流动液体上的力只有重力和压力。

①压力所做的功:因为理想液体无黏性,侧面压力不能产生摩擦力做功,只有作用于AB 段两端的通流截面上的压力p1 和p2 做功,则两截面上压力所做功的代数和,即

由连续性方程

或

式中　ΔV——AA′或BB′微小段液体的体积。

故有

②重力所做的功:因为是理想液体作稳定流动,所以由AB 段经Δt 时间流动到A′B′段,其中A′B 在Δt 时间内位置不变。

重力所做的功为:

式中　Δm——AA′或BB′微小段液体的质量。

2)动能的增量

液体从AB 段移到A′B′,因是稳定流动,中间段A′B 液体的所有力学参数均未发生变化,故这段液体的动能没有增减。因而液体AB 段在Δt 时间流动时动能变化为:

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根据动能定理,外力所做功的总和等于液体能量的增量,即

故有:

将上式两边分别除以Δmg,整理得:

或(https://www.chuimin.cn)

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式(1.21)和式(1.22)称为理想液体的能量方程,一般称为理想液体的伯努利方程。

伯努利方程中各项都代表一种形式的能量,而且都具有单位能量的意义,其单位为长度单位。其能量方程各项的名称为:

h:单位质量液体所具有的势能,称为比势能(位置头)。

:单位质量液体所具有的压力能,称为比压能(压力头)。

单位质量液体所具有的动能,称为比动能(速度头)。

因此,理想液体伯努利方程物理意义是:在密闭管道内作稳定流动的理想流体具有3 种形式的能量,即势能、压力能和动能。三者之间在流动过程中可以相互转换,但其任一截面的总能量是常数。

(2)实际液体的伯努利方程式

由于实际液体在管中流动时存在黏性和可压缩性,运动时因摩擦要损耗部分能量,同时,管道的局部形状和尺寸的骤然变化,使液流产生扰动,也要损耗部分能量。如果将这些损耗的能量用hw 表示,则式(1.21)就可写成:

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式中　α1、α2——动能修正系数。

由于截面上实际流速分布不均,用平均速度代替实际速度来计算动能时,必然会产生误差,所以在动能计算中,引入修正系数α1 和α2。对于紊流α=1,对于层流α=2(层流和紊流的意义见第四节)。式(1.23)称为实际液体的伯努利方程。

(3)伯努利方程式的应用条件及应用举例

在应用伯努利方程时,其应用条件是:

①液流必须是稳定流或近似稳定流。

②两通流截面应在渐变流段选取,但两段截面间的液流可以是渐变流,也可是急变流。

③液流是连续且不可压缩的,即ρ 为常数。

④液流在密闭管道中流动,各通流截面的流量q 为常数。

⑤忽略惯性力的影响,液体所受质量力只有重力。

例1.2　图1.11 所示为一液压泵的吸油装置。该泵的吸油管直径d=19 mm,油液的流量q=25 L/min,液压泵吸油口处允许最小绝对压力p2=6.3×104 Pa,油液密度ρ=900 kg/m3,各项压力损失总和为∑Δp =3×104 Pa(包括油液通过吸油管的压力损失、油管接头处的压力损失、滤油器的压力损失等)。试确定液压泵的吸油高度。

解　设油池液面为Ⅰ—Ⅰ截面,在该处认为v1=0,且p1=pa(大气压力),h1=0,取液压泵吸油口为Ⅱ—Ⅱ截面,v2 为吸油口处的液体流速,p2 为液压泵吸油口处压力,h2 为液压泵吸油高度。

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