颗粒流基本方程简介

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：将φ 乘以Boltzmann方程的两边，对整个颗粒脉动速度空间积分，获得φ 的输运方程。因此，可以通过假设颗粒的速度分布函数获得颗粒流的应力和能量通量等的表达式，或者用统计平均的办法建立各类守恒型方程来描述颗粒流的平均运动。因此，需要通过一定假设，建立泥沙颗粒相的本构关系。

类比气体分子动理学理论，认为快速颗粒流运动的颗粒速度分布函数满足Boltzmann方程:

式中:f 为单颗粒速度分布函数;vi为颗粒运动速度;Fi为单位质量颗粒所受外力，(∂f/∂t)c为由于颗粒碰撞所引起的分布函数的变化率;t为时间坐标;xi为空间坐标。如果颗粒只受重力作用，则Fi即为重力加速度gi，且与颗粒运动速度无关。上述Boltzmann方程中，左边第一项为时变项，第二项和第三项分别为物理空间和速度空间内的扩散项，右边是碰撞项。

Boltzmann方程更为常用的形式是将上述颗粒速度坐标vi转换为颗粒脉动速度坐标Vi，用时间t、空间坐标xi和脉动速度坐标Vi表示的Boltzmann 方程为 (Gidaspow，1994):

其中，d/d t=∂/∂t+〈vi〉∂/∂xi为物质导数;〈vi〉为平均速度。

定义颗粒属性φ 的统计平均量:

其中，d/d t=∂/∂t+〈vi〉∂/∂xi为物质导数;〈vi〉为平均速度。

定义颗粒属性φ 的统计平均量:

式中:n为单位体积中的颗粒数，即颗粒数密度。

将φ 乘以Boltzmann方程的两边，对整个颗粒脉动速度空间积分，获得φ 的输运方程。当φ 为脉动速度Vi的函数时，输运方程如下(Jenkins和Richman，1985):(https://www.chuimin.cn)

式中:n为单位体积中的颗粒数，即颗粒数密度。

将φ 乘以Boltzmann方程的两边，对整个颗粒脉动速度空间积分，获得φ 的输运方程。当φ 为脉动速度Vi的函数时，输运方程如下(Jenkins和Richman，1985):

式中:Θiφ( ) 与γcφ( ) 分别为碰撞造成的传递贡献和似源项贡献，表达式如下 (Jenkins和Richman，1985):

式中:上标“′”表示与逆碰撞相应的物理量，下标 “1”和 “2”表示参与碰撞的颗粒1和颗粒2;→v12为颗粒1相对于颗粒2的速度;→k为碰撞时颗粒1的球心指向颗粒2的球心的单位矢量;dp为颗粒粒径;g0为与颗粒浓度有关的径向分布函数。

如果能从上述方程求解出颗粒速度分布函数，那么颗粒流的所有运动参量就可以通过对分布函数的积分求出。一般地，碰撞项是一个复杂的积分项，求解出一般条件下的分布函数几乎不可能。因此，可以通过假设颗粒的速度分布函数获得颗粒流的应力和能量通量等的表达式，或者用统计平均的办法建立各类守恒型方程来描述颗粒流的平均运动。令φ为质量m、动量mVi和脉动能mViVi/2，考虑到颗粒间的碰撞不改变颗粒相的总质量和总动量，由输运方程依次得到泥沙颗粒相的质量、动量和脉动能守恒方程:

上述守恒方程中，泥沙颗粒相的脉动速度二阶相关项(脉动应力)和三阶相关项(脉动能通量的脉动分量)未知，碰撞应力和碰撞脉动能通量因与速度分布函数有关，也是未知的。因此，需要通过一定假设，建立泥沙颗粒相的本构关系。

颗粒流基本方程简介

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