根据上述几何条件，解决平行问题作图的关键是直线的投影必须平行于平面内某条直线在同一投影面上的投影。在图形软件系统中，只要用好投影联系功能和画平行线功能，就能快速解决平行问题的作图问题。例3-29已知△ABC和点D的投影，过点D作一正平线DF平行于△ABC。作图先在△ABC中过点B取一条正平线BE。例3-31已知在△ABC和△FFG中，AB∥EF，试判断这两个三角形是否平行。......
2025-09-29
欧几里得平行理论的应用及意义
【摘要】：精确的定义,清楚的公设,严格的论证,这是欧几里得的目标。如图3.17.5 所示,欧几里得通过引辅助线CE,利用平行线性质,首先推出第一个结论,进而得到第二个结论。虽然欧几里得没有研究测量或度量公式,但他也证明了一些有关平行四边形和三角形面积比较的结论。虽然欧几里得的平行理论完全脱离了实物支撑,但展示了对数学美和数学理性的追求。
精确的定义,清楚的公设,严格的论证,这是欧几里得的目标。 由此他推证出一系列重要定理,如以命题29 为基础,推出三角形内角和定理。
命题32 在任意三角形中,若延长其一边,则外角等于二内对角之和,而且三角形的三个内角之和等于二直角。
如图3.17.5 所示,欧几里得通过引辅助线CE,利用平行线性质,首先推出第一个结论,进而得到第二个结论。 对于这样的基本定理,我们不仅可用剪刀将三个角进行拼接验证,更重要的是学会推理论证。 若仅仅是测量的话,那就几乎倒退到古埃及时代了。
图3.17.5 命题32
(https://www.chuimin.cn)
图3.17.6 命题33
命题33 在同一方向(分别)连接相等且平行的线段(端点),则连接线段亦相等且平行。
如图3.17.6 所示,欧几里得假设线段AB,CD 平行且相等,通过引进辅助线BC,推证出线段BD,AC 平行且相等,因而四边形ABCD 是一个平行四边形。 虽然欧几里得没有研究测量或度量公式,但他也证明了一些有关平行四边形和三角形面积比较的结论。
两条平行线走再久也不会有交点,两条平行线无法靠近也无法太远。 此乃欧几里得几何的基本性质,然而随着数学的进一步发展,非欧几何诞生了。 在非欧几何中,平行线是可以相交的;而且在同一平面内,过直线外一点,可以作无数条平行线平行于已知直线。
虽然欧几里得的平行理论完全脱离了实物支撑,但展示了对数学美和数学理性的追求。 分析其逻辑探索过程,使证明思路显露出来,可加深对公理化演绎体系结构的理解。 自古希腊时代以来,一代代人通过学习欧几里得几何掌握了逻辑推理方法。 随着几何学的发展,现代数学不仅成为推动其它学科进步的重要工具,而且本身也变成了一门魅力无穷的艺术。 深入美丽的数学王国,定会不断发现熠熠发光的珍珠。 让我们赶快扬帆起航,去寻找数学王国的珍珠吧!
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