从整节课来看，教师提出的问题情境算不上是一个成功的问题情境，未能达到问题情境创设的实际目标。......
2023-08-04
数学局限性剖析：不可能的构造及理论存在问题
【摘要】：参考阅读//No. 1 公理、定理和证明，第6页No. 35 抽象代数，第74页No. 43 伽罗瓦理论，第90页No. 46 不可解的五次方程，第96页No. 59 欧几里得空间，第122页右图：尝试用欧几里得的方法去解“化圆为方”问题。上述这些不可解的问题就是欧几里得几何存在局限的例子。在欧几里得几何内，三等分角问题、化圆为方问题和倍立方体问题都是不可解的。
1.多维度看全
欧几里得几何基于几条公理告诉我们要如何去应用这些公理来解决一些复杂的问题。其中一个问题是这样的：给定两条成某角度相交的直线，我们能将这个交角二等分吗？答案是能，利用欧几里得的方法，这个问题很好解决。
然而，还有一些更为复杂的问题，比如，给定一个角，我们能否将它三等分。这个问题叫作三等分角问题。
还有一个问题是这样的：给定一个圆，我们能否做出一个与这个圆面积相等的正方形？这个问题叫作化圆为方问题。
最后，还有一个关于三维的问题：给定一个立方体，我们能否做出一个体积是该立方体两倍的立方体？不难想象，这个问题叫作倍立方体问题。
几个世纪以来，人们都一直试图解决这些古典难题，而现在，我们已经知道，它们都是不可能解决的问题。
2.关键点梳理
这些问题之所以如此具有迷惑性，是因为它们和欧几里得系统中许多很好解的问题看起来很像。单从表面上看，这些问题解起来不会有多难，不可解更是不可想象。
如果我们为欧几里得几何添上几条公理，让它具备使这些问题得以解决的性质，这些问题也不是完全不能被解决。直到19世纪，随着伽罗瓦理论的发展和抽象代数的出现，人们才意识到这一点。
参考阅读//
No. 1 公理、定理和证明，第6页(www.chuimin.cn)
No. 35 抽象代数，第74页
No. 43 伽罗瓦理论，第90页
No. 46 不可解的五次方程，
第96页
No. 59 欧几里得空间，第122页
右图：尝试用欧几里得的方法去解“化圆为方”问题。和求解其他难题遇到的情况类似，这只能获得一个近似的结果，并不能完全解决问题。
3.一分钟记忆
任何理论框架下的公理都可以用来证明问题，但并不存在能够证明所有问题的理论框架。上述这些不可解的问题就是欧几里得几何存在局限的例子。
在欧几里得几何内，三等分角问题、化圆为方问题和倍立方体问题都是不可解的。
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