371种毕达哥拉斯定理证明

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：或许在整个数学中，还找不到另一个定理，其证明方法之多能够超过毕达哥拉斯定理，不同的时代，不同的国家和地区，不同职业的人物都在寻找定理的新的证明方法.据说，在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法.美国克里夫兰西部高中数学教师卢米斯（1825—1940）在他做教师的50年间，收集整理了毕达哥拉斯定理的371种证明，出版了一本

或许在整个数学中，还找不到另一个定理，其证明方法之多能够超过毕达哥拉斯定理，不同的时代，不同的国家和地区，不同职业的人物都在寻找定理的新的证明方法.据说，在中世纪，要求取得数学学位的学生必须提供毕达哥拉斯定理的原创证明，这激发了学生和老师们不断提供新的、有创意的证明方法.美国克里夫兰西部高中数学教师卢米斯（1825—1940）在他做教师的50年间，收集整理了毕达哥拉斯定理的371种证明，出版了一本285页的《毕达哥拉斯命题》著作，这使不大可能出名的中学教师成了一位名人.

下面的内容是卢米斯著作中的精彩片段，简单给大家介绍一下.

1.最短的证明

如图6-3（1），根据射影定理，显然有b2=AD·c，a2=BD·c，两式相加即可.

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图6-3（1）

这就是欧几里得的第二个证明.（第六卷的第31个命题）

2.利用相似的性质证明

如图6-3（2），因为图中的三个直角三角形两两相似，

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图6-3（2）

因而 pagenumber_ebook=107,pagenumber_book=99 ，两式相加即可.

3.利用切割线定理证明

如图6-3（3），以B为圆心，BC为半径作圆交AB于P，延长PB交圆于Q，由切割线定理有AC2=AP×AQ⇒b2=（c-a）（c+a），即有c2=a2+b2.

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图6-3（3）

4.一个基于旋转的证明

把直角三角形三边（三边分别为a，b，c，假设a＞b）补成一个边为a的正方形（图6-3（4）），

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图6-3（4）

关于这个三角形的上顶端按逆时针方向旋转90°（图6-3（5）），

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图6-3（5）

然后再清除原来的三角形产生了一个四边形（图6-3（6））.

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图6-3（6）

显然它的面积等于正方形的面积，因此 pagenumber_ebook=108,pagenumber_book=100 ，化简，得到a2+b2=c2.(https://www.chuimin.cn)

5.詹姆斯·加菲尔德的证明

如图6-（7），延长CB至D，使BD=AC=b，作DE⊥BD，且使DE=BC=a，连接BE和AE，构成一直角梯形ACDE，显然，利用面积

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图6-（7）

c，得到a2+b2=c2.

这一证明之所以出名，是因为它是由美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德提出的，这一证明是总统先生2025年当议员时与其他国会议员在一次数学讨论中偶然发现的。

欧几里得在《原本》卷Ⅲ中给出了一些关于圆的命题，可以利用圆的性质来证明毕达哥拉斯定理。

6.最长的证明

最长的证明是法国数学家勒让德给出的，勒让德在比例式中兜圈子，实在没有必要，因为太长，所以不想在这里把完整的证明展现出来.

卢米斯的《毕达哥拉斯命题》共收集了371个证法，有几何证法、代数证法、动态证法等多种不同的形式，其中大部分都是几何证法，证法的提供者有数学家，有名人（如第31种证法是惠更斯给出的，第53种证法是莱布尼茨给出的，第225种证法是婆罗门笈多给出的，等等），也有普通的数学爱好者和中学生（如2025年印第安纳州高中女学生安·康迪给出的一个相当精巧的证明，甚至盲人姑娘也给出了一个原创证明），卢米斯在他著作第二版的最后一句话是“新的证法没有尽头”.

好了，对于毕达哥拉斯定理，我们现在已有几百个证明它的方法，还有什么要说的吗？

作为“伟大的定理”，当然还有很多内容，例如，没有哪个定理能像毕达哥拉斯定理那样衍生出如此多的注释、变形和应用.其中有一些是显而易见的，而另外一些则比较深奥.

在“风车”证明的那个图中，其实我们也可以用任意图形——多边形或非多边形，来取代直角三角形边上的正方形，只要它们相似就可以了.如图6-3（8）给出了五边形的情形，图6-3（9）给出了以各边为直径的半圆形的情况.

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图6-3（8）

运用于正五边形的毕达哥拉斯定理Sc=Sa+Sb

古希腊的文明史，自伟大的泰勒斯，经历毕达哥拉斯学派，它最辉煌的年代开始于公元前387年左右，当时柏拉图建立了雅典学园，这所学园统治了希腊文化生活近千年.柏拉图自己虽然不是一名数学家，但是他对数学的重要贡献是他认识到掌握逻辑思想的重要性以及最终建立健全的民主的重要性，雕刻在这所学园门口的座右铭“不懂几何者不得入内”成为一句不朽的名言，欧几里得受柏拉图学园的深刻影响，他编纂的《几何原本》成为数学的“圣经”.

继欧几里得之后，古希腊数学史中下一个伟大的名字是阿基米德（公元前287—前212），他使希腊数学的黄金时代达到了顶峰.当然，其后还有很多著名的学者，如阿波罗尼奥斯（研究圆锥曲线），丢番图（研究数论和方程），希帕克斯（三角学的创始人）以及托勒密，他的巨作《至大论》概括了那个时代已知的世界版图，这是以地球为中心的宇宙，在这个宇宙里，太阳、月亮、行星和其他星星以完美的圆形轨道围绕地球运动.

希腊数学漫长的历史长河中最后一位令人注目的数学家是帕普斯，大约生活在公元3世纪，他为欧几里得的著作做了注释，他的《数学汇编》共八卷，包含很多优美、富有创意的结果.其中一个定理是毕达哥拉斯定理的一个扩展：

如图6-3（9），设△ABC是任意三角形，四边形ABDE和ACFG是构建在边AB和AC上的两个平行四边形，延长DE和FG相交于H，分别作平行且等于HA的BM=CN，这产生一个平行四边形BMNC，帕普斯定理指出，这个平行四边形的面积等于原来的平行四边形面积的和.

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