被遗忘的数学课：近80年省级重点中学办学成果

各自独立

各自根基强大

各自都有广袤的领域

可是

我们注定要相逢

我们的校园坐落在城市东隅，建于20世纪40年代，距今已有近80年的历史.经过几代人的努力，逐渐成为一所省级重点中学.校园古朴宁静、绿树成荫、环境优美，“春有花，夏有荫，秋有果，冬有青”的写照是目前时尚的“新校区”所不具备的，学校以“校园如画，育人摇篮”享誉省内外.

学校的办学风格多样化，成绩斐然.每年的全国青少年科技创新大赛决赛现场经常有我们学生的身影；学科竞赛是学校的特色，赛区学科竞赛颁奖大会，隔三岔五地就会在我们古朴的校园内举行；每年的校园文化艺术节办得有声有色，深受同学们的喜爱；学校科研处组织的公开课、选修课、各种讲座作为学生常规课堂的补充，大大丰富了同学们的学习生活.我们“被遗忘的数学课”讲座作为其中的一部分，逐渐为同学们所喜爱，讲座海报前两天已贴出去了，同学们议论纷纷，数学课，“三重奏”？我们的数学老师又将玩什么新花样？

让我们去看一看，有什么新鲜事发生哦.

“同学们，我们的讲座正慢慢得到大家的喜爱，今天又来了一些新的同学，被‘遗忘’的数学课不仅没有被同学们遗忘，反而吸引着越来越多同学的注意，这真是一件令人高兴的事情，我们还是先泛泛谈点什么吧.”

学生：老师的讲座“颠覆”了我们对数学的认识，也“颠覆”了我们对数学课的认识，老师的讲课思路清晰，语言风趣，内容丰富，我们对每一堂讲座都充满期待，希望这样的讲座能一直进行下去.

学生：老师的讲座帮我们彻底弄清某些重要的数学概念，数学不再是空中楼阁，不再是虚幻、枯燥的游戏，我们站在坚实的数学大地上，心中有“数”.

老师：今天讲座的主题是“三重奏”.首先还是让我们一起来回顾一下前面的讲座内容，大家尽量用简洁的语言把自己的认识和感受说出来.这位同学说说圆周率吧.

学生：圆周率是圆的周长和直径的比值，它是一个无理数，用π表示，数学家经过理论计算，它的值约为3.14.

学生：没有哪一个数像π那样，全世界的顶级数学家几千年来一直对它情有独钟，数学家用割圆法、微积分、级数、计算机来计算它，令人应接不暇，有的数学家甚至献出了一生的心血.

学生：圆周率是自然界的一个重要常数，它常常出其不意地现身在某些地方，如两个整数互质的概率为，而自然数的倒数的平方和竟为，太不可思议了.

学生：我老爸用31415926535，27182818284买彩票，希望能中奖，至今未能如愿.但老爸会坚持买下去.

（笑声）

老师：我们知道，圆周率π还有一位同门兄弟e，说说这位兄弟吧.

学生：简单说，e就是增长的极限，它是当n趋于+∞时的极限，它的值约为2.71828，数学家为了造对数表的需要，选用e作对数的底，以e为底的对数称为自然对数，也叫纳皮尔对数.

老师：你还知道纳皮尔，不错.（笑）

学生：e的发现与对数有关，对数的发明在当时的条件下大大降低了运算的难度，把科学家从烦琐的运算中解放出来，广受欢迎，恩格斯曾把对数的发明、解析几何的诞生以及微积分技术称为数学史上的三次革命.

学生：e是自然界的一个普适常数，在很多领域都有它的身影，以e为底的指数函数因其微分和积分的不变性特征，成为高等数学的基石.

老师：是啊，大家对圆周率和e有这样的认识很不容易，而且这些认识的背后我们有丰富的数学知识来支撑，帮助我们认识和理解.

圆周率的故事早已广为流传，一来是因为它的历史可以追溯到远古时代，二来则是由于人们无须太高深的数学知识，就可以很好地理解它.常数e因为它出现得更晚，而且它与令人望而生畏的高等数学紧密相连，所以e的知名度要比π逊色很多.但π和e这两个数作为数学中两个最重要的常数，数学家对它们的研究一直没有停止过.除了它们各自的特点和性质以外，这两个数的比较和它们之间的关系也一直为数学家津津乐道.比如π=3.1415926…，e=2.718281828…，它们的整数部分一个是3，一个是2，又有eπ=23.14069263…，πe=22.45915771…似乎很接近，能把π和e联系起来的初等公式少之又少，π4+π5≈e6，可谓数学王国中的国宝级公式，这个公式很简洁、漂亮，可惜它是个近似公式，但近似程度相当高，有七位有效数字是相同的，也就是说两者的差别在千万分之一以内.而更有意思的是它们同属于某一种类型的数，这种类型的数是那样的奇妙，因此今天在这里我不得不给大家介绍，这种数的名字叫超越数.

我们知道，就实数的体系来说，人们把它分为有理数和无理数两大类，18世纪以前，人们最熟悉的数是有理数，虽然也经常使用无理数，但对无理数的本质了解得很少，人们自然希望用自己熟知的有理数来研究各种数，一个典型的例子是前面我们提到的德国数学家兰伯特（1728—1777），他曾证明了这样的一个定理：如果x是非零有理数，则tanx不能是有理数.而兰伯特利用及反证法证得不能是有理数，因而π是无理数.另一个典型方法是，将一些数与有理系数方程（也可说是整系数方程）联系起来，法国数学家勒让德（1752—1833）猜测π不可能是有理系数方程的根，这便引出了代数数的概念.数学家把凡是可作为有理系数一元多项式方程的根的数称为代数数，而不是代数数的数称为超越数.（即超越数是不可作为有理系数代数方程的根的数），用欧拉的话来说，“它们超越了代数方法的能力.”这样一来，数的分类，借助于方程，实数就又可分为实代数数和实超越数两大类.

显然，一切有理数都是代数数，因为是有理系数方程nx-m=0（m，n为整数，n≠0）的根，而与之类的无理数也都是代数数，因为它们分别是有理系数代数方程x2-2=0和x5-3=0的根.这样一来，无理数就可能是代数数（如等），也可能是超越数，这表明人类对无理数的研究更深刻了.

有趣的是，从18世纪提出超越数概念开始，到19世纪中叶，还没有人能从理论上证明超越数的存在，也没有哪一个人确切地知道哪一个数一定是超越数.打个比方，我们将海豚重新进行分类，我们把在水里生存的海豚叫代数海豚，把不在水里生存的海豚叫超越海豚，人们见到过很多代数海豚，但没有人在理论上证明超越海豚的存在，也没有在现实中看见过哪怕一只在陆地上、空中或外星球上生存的超越海豚.

1844年，法国数学家刘维尔（1809—1882）终于发现了一只“超越海豚”.刘维尔利用他证明的代数数必须满足的一个性质，从反面间接地构造了一个超越数，最简单的刘维尔数是（它的小数展开表达式是0.11000100000000000000000100…），由此向世人宣告了超越数的存在，使人们对超越数的认识由概念到现实存在，发生了质的跃进.

关于超越数，曾发生过数学史上非常奇特的一幕，那就是康托尔导演的关于“无限”的理论.

康托尔，德国数学家，集合论的创始人.康托尔在研究无穷大理论时曾引入重要的“可数集”与“不可数集”的概念，康托尔定义：如果一个集合中的元素能与自然数集（当然是无穷集）建立一一对应关系，那么就称这个集合是可数集，或称这个集合是可数的，可以形象地理解为这个集合的元素可以一一数出来，因为日常生活中数物体的个数，本质上就是把被数物体逐个地与自然数1，2，3……建立一一对应关系.相反，不能与自然数集建立一一对应关系的集合就称为不可数集.康托尔用巧妙的方法证明了有理数集是可数的，而实数集是不可数的，由此推出，无理数集也是不可数的.有了可数集与不可数集的概念，人们可以比较“无限”的多与少，通俗地说，不可数集的元素要比可数集的元素多得多，这就解决了“是有理数多还是无理数多”的问题，换句话说，在实数中几乎都是无理数，按照康托尔的理论，不可数集与可数集属“无限”划分中的不同“级”或“势”，不可数集的元素个数要比可数集的元素多到难以想象.

正当人们步履艰难地研究超越数的时候，1874年，年仅29岁的康托尔发表了著名的论文《关于所有实代数数组成的集合的一个性质》，证明了所有代数数组成的集合是可数的.但注意的是，全体实数是不可数的，所以康托尔也就证明了全体超越数是不可数的.超越数要比现在已知的无穷多个代数数要多得多.在如此“贫瘠”“稀有”（当时只知道刘维尔构造的“刘维尔数”是超越数）的超越数领域，居然预测到应该有如此多的超越数.

康托尔（德国，1845—1918）

问：实数中有多少个代数数？

答：无穷多个，要多少有多少.

问：实数中有谁是超越数？

答：只有刘维尔数是超越数，其他的不知道.

问：实数中代数数多还是超越数多？

康托尔：超越数远比代数数多，相对于超越数而言，代数数的个数简直不值一提.

这个不可思议的结论使整个数学界感到无比震惊.

一位受欢迎的数学史作家E.T.贝尔以充满诗意的语言概述了这种情况：

“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星，而沉沉的夜空则由超越数构成.”

说说一个题外话，科学的魅力有时在于各学科之间总是相通的，1915年，爱因斯坦根据他的相对论理论推测，宇宙中物质的平均密度必须达到5×10-30g/cm3，但是，迄今可观测到的宇宙的密度却是这个值的，这意味着，宇宙中的大多数物质“失踪”了，科学家将这种“失踪”的物质叫“暗物质”.

最新的现代物理研究观测表明，宇宙中可观测到的各种星际物质，星体、恒星、星团、星云、类星体、星系等的总和占宇宙总质量的2%，换一句话说现在还没有直接观测到的物质（暗物质）占98%.

在找出事实存在的依据之前大胆推测事实存在的人叫先驱，爱因斯坦是，康托尔也是.

或许，像π和e这样的数实在太神秘，以至于有理数（分数）或者代数方程这样平凡的事物遇到它们根本起不到作用，1873年，法国著名数学家厄尔米特（C.hermite，1822—1901）终于证明了e为超越数.受厄尔米特的鼓舞，9年后德国数学家林德曼于1882年证明了π是超越数.

至此，兄弟俩终于在“稀有”的超越数的王国里又相遇了.

π和e作为数学中两个最重要的常数，它们都是无理数，现在我们又知道，π和e难得的又同是超越数，但这一切还没有表现出它们之间的密切关系.π和e的关系因为“幽灵”的存在而显得更加扑朔迷离.这里说的幽灵就是著名的i（虚数单位）.至此，今天我们这部“数学剧”的所有主角已悉数登场.

π，e，i将合奏一首怎样的“三重奏”呢？当然，还缺少一位主角，这就是乐队的灵魂人物——指挥.

谁有资格担任“三重奏”的指挥呢？

学生：欧拉，欧拉，欧拉！

是啊，欧拉利用级数，一个小时之内轻松搞定圆周率的二十位，欧拉指出对数源出于指数，欧拉的研究使自然指数函数成为高等数学的基石，欧拉抛弃当时人们普遍的对“虚数”的偏见，把虚数应用在数学的各个领域，欧拉给这三个数取名字，得到全世界的认可，没有哪一位数学家比欧拉更有资格担任这部“三重奏”的指挥了.为此，让我们向伟大的欧拉致敬.

在介绍这支“创新想象的最大奥秘”的曲子之前，我们还是来膜拜一下欧拉吧.拉格朗日曾深情地说：“读读欧拉吧，他是我们所有人的大师。”

在漫长的数学史中，莱昂纳德·欧拉的贡献是无与伦比的，他博大精深和空前丰富的著述令人叹为观止.数学中的领域几乎没有欧拉未接触过的，他强大的数学创造力令人无法想象.欧拉厚厚的70多卷文选，深远地改变了数学的面貌.欧拉逝世后，圣彼得堡科学院为整理他的遗稿足足忙了47年.

欧拉于1707年出生在瑞士的巴塞尔.毫不奇怪，他在年轻时就表现出超人的天赋，欧拉的父亲是一个教派的牧师，当意识到儿子具备非凡的数学天分时，他设法安排年轻的欧拉师从著名的约翰·伯努利.欧拉后来常常回忆起与老师伯努利在一起的这段美好时光.小欧拉通常经过一星期的学习准备，然后在每个星期六下午的指定时间里去向老师请教一些数学问题（这倒不像我们有些同学动辄请家教，被动地听家教指导，依赖家教）.伯努利并非总是仁慈、和蔼的，最初也常常因为学生的不足而发火，而欧拉则更加勤奋，尽可能不以“琐事”去烦扰老师，或因自己准备不足惹老师生气.不论约翰·伯努利的脾气是否很坏，他很快就发现了这个学生的非凡才能.不久，欧拉就开始发表高质量的数学论文，19岁时，欧拉以其对船上安装桅杆的最佳位置的精彩分析而荣获了法国科学院颁发的金奖.

1727年，20来岁的欧拉成为俄国圣彼得堡科学院的成员，俄国广纳贤才，是为了与巴黎和柏林的科学院相匹敌，以实现彼得大帝科学强国的梦想.当时，欧拉已显示出后来成为他整个数学生涯鲜明特征的过人精力和巨大的创造力.虽然在18世纪30年代中期，欧拉的右眼开始失明（有人说是因为劳累过度所致，而有人则认为他是在没有保护措施的情况下观察太阳被灼伤）.但是，伤残并没有影响他的科学研究，他不屈不挠，解决了各个数学领域（如几何学、分析、数论和组合）及应用领域（如机械学、流体动力学和光学）中的种种疑难问题.

欧拉（瑞士，1707—1783）

欧拉在俄罗斯待了14年之久，1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，离开圣彼得堡成为柏林科学院院士，以便替大帝赢得普鲁士在艺术和科学领域的主导地位.欧拉在那里待了25年，在这一时期，欧拉除了进行大量的数学研究外，还广泛涉猎其他人文领域，撰写了非常受欢迎的作品《致德国公主关于物理和哲学多样性问题的通信》.

某种程度上，欧拉离开俄国是因为他不喜欢沙皇制度下的压抑，但遗憾的是，柏林的情况也好不到哪里去，腓特烈嫌他太单纯、太文静、太谦和，缺乏“宫廷气质”，这位德国国王在一次提到欧拉的视力问题时，竟称欧拉为“数学独眼龙”，由于腓特烈的这种态度以及科学院内部的一些明争暗斗，欧拉在60岁时于1766年应俄国开明的叶卡捷琳娜二世的邀请，再次回到圣彼得堡（他在柏林的位置由拉格朗日接替），他后来一直住在俄国，直到17年后逝世.

欧拉是一个善良和宽宏大量的人，他喜欢自己种菜和给他的13个孩子讲故事，这与孤僻、缄默的艾萨克·牛顿形成鲜明对照.我们从中欣慰地看到，天才也并不都是神经质.在重返圣彼得堡后不久，欧拉的另一只眼睛也失明了，而且经常疼痛，但他依然坚持向他的助手口授他奇妙的方程和公式，在助手的帮助下，继续从事数学著述.在欧拉的868篇论文论著中，其中有近400篇是在他双目失明后靠心算和口述完成的.正如失聪没有阻碍贝多芬的音乐创作一样，失明也同样没有阻碍欧拉的数学探索.

欧拉的一生，是才智和奋斗相结合的典范，欧拉的整个数学生涯，始终得益于他惊人的记忆力，他不但能够记住前100个素数，而且还能记住所有这些素数的平方、立方，甚至四次方、五次方和六次方，而其他人只能忙着笔算或查表，但这还只是他显示非凡记忆力的一些雕虫小技.他能够进行复杂的心算，其中有些运算要求他必须要记住50位小数.对此，我们只能称他为超人，法国物理学家弗朗索瓦·阿拉戈说欧拉计算似乎毫不费力，“就像人在呼吸，或雄鹰在翱翔一样轻松”，除此以外，欧拉还能够记住大量的论据、引语和诗歌，包括维吉尔的《埃涅阿斯纪》全篇，这部史诗是欧拉幼年时诵读的，时隔50年后，他依然能够一字不落地背出全文.(www.chuimin.cn)

欧拉无与伦比的名望是与他的数学论著密不可分的，他的笔下，既有一些高难度的数学著作，也有一些初级数学书，而且他并不认为这样就降低了身份.他最具影响力的著作是1748年发表的《无穷小分析引论》，这部不朽的数学论著完全可以与欧几里得的《几何原本》相比美，在这本书中，欧拉总结了他在无限序列、无穷乘积以及连分数等领域的发现，还第一次将人们的注意力引向了分析中的核心角色——数e以及指数函数.之后，又相继出版了《微分学原理》和《积分学原理》，欧拉在这些著作中评述了前辈数学家的发现，组织并清理了他们的论证，其论著之精妙、简洁，使得大部分前人著作都显得陈腐，欧拉的论述确定了数学分析的方向，为他赢得了“分析的化身”的美誉.

欧拉是通晓数学各个领域的大师，而且他以敏锐的数学直觉，能看到看似完全不同的数学领域之间的深层联系，并把这些联系清晰地表达出来.欧拉的著作，不但包含许多开创性的成果，而且在表述上思路清晰，极富启发性，他的文字优美而流畅，把他那丰富的思想和发现写得有声有色，妙趣横生.欧拉认为，如果单是给科学做出了一些发现，而不能清晰地阐明那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作，欧拉做了一些跟他才能相当的伟大数学家从没有做过的事，即他诠释了他是如何发现他的结果的.

欧拉在写作时，心里会想到并不是所有读者都能像他那样，具有惊人的学习数学的能力和禀赋，所以在他所有的著作中，无论是技术性的还是说明性的，他总是使用简单明了的语言将他所要表达的内容浅显地陈述出来.欧拉的著作影响深远，所有后来的数学家都乐于采用他的文体和写作方法来进行著书立作.

作为一位巨人，欧拉并未将他的全部工作局限于数学领域.他还广泛涉猎声学、工程学、机械学、天文学等许多领域，甚至还有三卷著作专门论述光学仪器，如望远镜和显微镜，只要想象一下一个人在失明后还要向世界揭示光学的奥秘，我们就会受到强烈的感染和激励.也许令人难以相信，但据估计，如果有人清点18世纪后70几年中的所有数学著作，那么，其中大约有出自欧拉之手，还有许多记于他人名下的数学定理，实际上有些是欧拉发现的，深藏于他卷叠浩繁的著作中，数学史上称18世纪为“欧拉世纪”.

欧拉的终年，似乎也如同他超凡的智慧一样，富有预见性，公元1783年9月18日下午，欧拉为庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友在家聚会，正当他喝完茶与孙子逗笑时，突然间脸色骤变，但见他口中喃喃地说道：“我要死了！”烟斗随即从手中落下，数学史上的一代巨星，竟在这般神奇的情景中陨落了.

欧拉被埋葬在他长年奋斗工作过的圣彼得堡，他曾在那里度过了许多美好的时光.

伟大的定理：欧拉公式eix=cosx+isinx.

在圆周率讲座中，我们了解到韦达在等式……中加入“等等”一词而创造了历史，“无穷”以闪电般的速度登上了数学的舞台中心，人们对级数的研究得到迅猛发展.

数学家发现，任一连续函数都可展开为幂级数：

f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…

这一发现的优越之处在于，不论这个函数是分式函数、根式函数，还是三角函数，乃至超越函数，它们都可用代数幂级数展开，这为函数的研究以及微积分的计算开辟了新的通道.

对于超越函数（自然指数函数）y=ex，我们在前面的讲座中已演示过.根据ex的微分不变性的特性，对等式ex=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…反复求导，循环计算可解得

由此可得ex的幂级数展开式

为了使同学们熟悉这种方法，我们再来看几个例子.

例1：求函数的幂级数展开.

重复这一过程可得a4=1，a5=1，…，an=1，…，这样我们就可得到x＜1的幂级数展开式为

而我们知道，展开式右边正是一个无穷递缩等比数列的求和.当x＜1时，这个和的值正是.

例2：求正弦函数y=sinx的幂级数展开.

在学习正弦函数的性质章节中，我们利用正弦函数的图象，讨论了这个函数的奇偶性、单调性、周期性、最大值、最小值等，若能把正弦函数用代数多项式幂级数展开，那么无疑为我们研究它又提供了一种新的途径.

重复这一过程我们可以得到

由此可得

同样的方法，我们毫无困难地可得到

我们还想到在牛顿的π近似值计算中，牛顿先用初等几何的方法得到曲边形ABD的面积，再用积分计算曲边形ABD的面积，这个积分值的计算其实是很困难的，而当牛顿用幂级数将展开后，积分运算就变得简单了，因为所有展开项的积分的计算只需用（c为常数）就可以了.牛顿是微积分的发明者，对级数的运用无疑是他的优势之一，牛顿曾说过，级数是通向微积分的必由之路.

今天我们讲座的主题是“三重奏”，很多同学好像有些纳闷，讲了这么一大堆，我们到底是要干什么呢？好戏不在忙中出，情节正向纵深发展.

数学历史的进程表明，数学的发展往往是极不规则的，它在更大程度上取决于数学家的“直觉”，而不是数学逻辑.虚数的发现，级数的大量运用和微积分的发明都验证了这一点，而数学家们往往在“真理”与“谬误”之间走钢丝.

欧拉是一位伟大的实验数学家（他玩公式就像小孩子玩玩具一样），他常在各种“微妙”的境地自由穿行，直到找到他感兴趣的东西.欧拉凭着他强大的数学直觉和敏锐的嗅觉，他总能得到一些非常奇妙的东西，更难能可贵的是，大部分情况下这些结果都被验证是正确的.

我们今天有机会来欣赏欣赏，看看欧拉是如何玩转数学的.前面我们已得到自然指数函数ex的幂级数展开：

对这个幂级数展开式，欧拉首先做了一件大胆的事：他用虚数表达式ix来替换（1）式中的x，这在数学中是属于大胆、出格的行为，因为在我们所有关于函数ex的定义与演算中，变量x表示的始终是一个实数，欧拉用虚数替代实数，极有可能得出荒谬的结论.（我们因玩lg12=lg（-1）2=2lg（-1），这类游戏曾受到老师不少的批评.）

不过，欧拉对他的公式有足够的信心.通过将等式（1）中变量x换成ix，欧拉得到

根据i的特质，i2=-1，i3=-i，i4=1，i的整数次乘方以4为周期进行循环，我们可以将（2）写成

接下来，欧拉做了第二个大胆的尝试：他改变等式（3）中项的次序，将所有的实数项和所有的虚数项从整体中分离出来，这可能有危险：我们当然知道，对于有限个数的和，不管怎么改变项的次序，都不会影响到最终结果，因为有a+（b+c）=（a+b）+c保证，但对于一个无限序列这么做，极有可能会影响最终结果，甚至改变序列性质，使这个和从收敛变成发散，或从发散变成收敛，如我们计算序列1-1+1-1+…的和，若我们擅自组合成（1-1）+（1-1）+（1-1）+…，结果将是0，若我们变换为1-（1-1）-（1-1）-…=1-0-0-0…，结果又变为1，若我们令S=1-1+1-1+1…=1-（1-1+1-1+…）=1-S，则2S=1，序列的结果又变成了，而事实上这个序列的和是发散的！无限真是不能随意玩的.

但欧拉的时代还不能完全认识到这一点，数学家们对无限运算随心所欲地试验（就像牛顿和莱布尼兹随心所欲地运用微积分技术一样），欧拉通过改变等式（3）中项的排列，得到

欧拉当然知道括号中的两个无穷级数分别是三角函数cosx和sinx的无穷级数展开式，因此，欧拉终于得到了他想要的东西：

尽管欧拉用一种不够严谨的方式推导出了他的结果，但这个公式是经得起推敲的——后来数学的发展使得它的正确推导也只不过是现代高等微积分课程中的课后练习罢了.和微积分创立初期牛顿与莱布尼兹大胆利用微积分计算一样，欧拉也是位引路人，“善后”工作——对这三位伟人的发现进行准确严谨的证明——留给了后一代的数学家们.这其中包括著名的达朗贝尔、拉格朗日、柯西，他们所做出的贡献使级数和微积分理论建立在严密的逻辑基础之上.

上述方程令人不可思议，欧拉就像武侠里打通了任督二脉的大师，在指数函数和三角函数及虚数之间建立了深层次的联系，意义非凡，后人把这个公式命名为欧拉公式.

不过，它的意义还远不止于此，欧拉乘胜追击，将x=π代入等式（5），并利用cosπ=-1以及sinπ=0，欧拉得到了一个奇妙的结果：

至此，欧拉作为一个杰出的乐队指挥，完成了π，e，i这三个最重要的数之间的和谐“三重奏”.

如果用“意义非凡”来形容等式（5）的话，那么必须找出一个更适合于形容等式（6）的词，毋庸置疑，它肯定是所有公式中最漂亮的公式之一.实际上，若将它写成eiπ+1=0的形式，我们就得到了一个集数学中最为重要的5个常数于一身的公式（此外还包括3种最重要的数学运算——加法、乘法以及指数运算），这5个常数是经典数学中主要分支的象征：0和1代表算术，i代表代数学，π代表几何学，以及e代表分析学.π和e既是无理数又是超越数，这是何等神奇、和谐的结合，如果完全用数字写出这个式子，就是，等式左端显示的是一个永无休止的无穷过程，然而其结果却奇迹般地归结为0，这好像使我们感受到欧拉那种大手一挥，所有繁杂落地，天地万物一下寂静的美，又好像战争结束，厮杀不再.特别是当人们注意到e，π，i这三个常数的身影不仅频繁地出现在数学中，而且还经常出现在许多不同的科学领域，它们在宇宙中的重要地位和丰富内涵可能至今还未被完全认识清楚时，人们不禁为它们之间的关系所表现的高度神秘性和极度的奇异性所倾倒.

数学的魅力在于有些时候某些概念、式子、结果会出其不意地出现在你想不到的地方，人们发现eiπ+1=0竟然隐藏在一张“寻宝图”中.

欧拉随心所欲用iπ代入ex的幂级数展开式中：

在复平面上，我们可以把上述各项像向量一样加起来，按照高斯规则，各向量首尾相连，带有虚数i的项表示该向量逆时针转过90°.我们从（0，0）出发，第一项是代表从原点出发沿着x轴到达点（1，0）的向量，加上第二项iπ则是一个从（1，0）出发，相对于第一个向量逆时针转过90°，并向上延伸π个单位，到达坐标（1，π）的向量，加上第三项则是从（1，π）出发，相对于第二个向量再逆时针旋转90°，方向与第一个向量完全相反，并越过直线x=0（y轴）到达点的向量，加上第四项是一个方向向下的向量，延伸至x轴的下方，如此往复.由于后一向量总是沿着前一向量逆时针旋转90°的方向，并且分母增长的速度比分子要快，导致向量的模逐渐变小，最后形成一个收敛于点（-1，0）的多角形螺旋（如图4-1所示）.

图4-1

人们不禁感叹“大自然”的鬼斧神工和数学家们的伟大创造.

理查德·费曼（名著《别闹了，费曼先生》的主角）14岁的时候第一次邂逅eiπ+1=0，这位后来摘取了诺贝尔物理学奖的年轻人在日记中用大大的黑体字母写道：这是数学中最不简单的一个公式.斯坦斯大学数学教授凯斯·德福林这样描写它：欧拉公式触及事物的最深处，它把源自人们生活不同方面的思维抽象出来，合而为一，并再次提醒人们，联系、结合在一起的事物比分开的事物更重要、更有价值，也更加绚丽多姿.

如今，欧拉公式已经成为一个标志，犹如数学上的达·芬奇的蒙娜丽莎画像或者米开朗基罗的大卫雕塑.对于许多人，哪怕是只接受过有限数学训练的人，欧拉公式以其内在的价值和意义，超越了其本身所代表的事实，令人着迷，魅力无限.