【主要内容】1.二元函数极值的定义设二元函数f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义.如果在此邻域内对任意（x，y）≠（x0，y0）都有f（x，y）
2023-10-27
多元函数的极值与最大最小值
【摘要】：定义 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于点（x0，y0）的点（x，y）：（1）若f（x，y）＜f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）；（2）若f（x，y）＞f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0）.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z=3x2+4y2在点（0，0）处有
定义 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于点（x0，y0）的点（x，y）：
（1）若f（x，y）＜f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）；
（2）若f（x，y）＞f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0）.
极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数z=3x2+4y2在点（0，0）处有极小值.因为对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零.从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面z=3x2+4y2的顶点.
例2 函数
在点（0，0）处有极大值.因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负.点（0，0，0）是位于x Oy平面下方的锥面
的顶点.
例3 函数z=xy在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.
以上关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数.设n元函数u=f（P）在点P0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于P0的任何点P都适合不等式
则称函数f（P）在点P0有极大值（或极小值）f（P0）.
与导数在一元函数极值研究中的作用类似，偏导数也是研究二元函数的极值问题的主要手段.与一元函数类似，二元函数有以下极值存在的必要条件.
定理1（必要条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零.即有
类似地，如果三元函数u=f（x，y，z）在点（x0，y0，z0）具有偏导数，则它在点（x0，y0，z0）具有极值的必要条件为
与一元函数类似，凡是能使fx（x，y）=0，fy（x，y）=0同时成立的点（x0，y0）称为函数z=f（x，y）的驻点.从定理1可知，具有偏导数的函数，极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点，例如点（0，0）是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值.
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题.
定理2（充分条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令
则f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；
（2）AC-B2＜0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
例4 求函数f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.(www.chuimin.cn)
解 解方程组
求得驻点为（1，0）、（1，2）、（-3，0）、（-3，2）.
二阶偏导数
在点（1，0）处，AC-B2=12×6＞0，又A＞0，所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=-5；
在点（1，2）处，AC-B2=12×（-6）＜0，所以f（1，2）不是极值；
在点（-3，0）处，AC-B2=-12×6＜0，所以f（-3，0）不是极值；
在点（-3，2）处，AC-B2=-12×（-6）＞0又A＜0，所以函数在（-3，2）处有极大值f（-3，2）=31.
注 多元函数的极值可能在驻点处取得，也有可能在偏导数不存在的点处取得.例如例2中，函数
在点（0，0）处的偏导数不存在，但该函数在点（0，0）处却具有极大值.因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求函数的最大值和最小值的一般方法是：
将函数f（x，y）在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.
但这种做法由于要求出f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值，因此往往相当复杂.通常遇到的实际问题中，根据问题的性质，知道函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）.
例5 要用铁板做成一个体积为2 m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
解 设水箱的长为x m，宽为y m，则其高为
m.此水箱所用材料的面积
可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使该函数取得最小值的点（x，y）.
令
解方程组，得
根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域D：x＞0，y＞0内取得.又函数在D内只有唯一驻点
，因此可断定当
时，A取得最小值，即当水箱的长为
、宽为
、高为
时，水箱所用的材料最省.
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，立方体的表面积最小.
有关高等数学（二）（第2版）的文章
-
多元函数极值的计算方法详细阅读
- 详细阅读
-
高数上册-函数最大最小值详细阅读
解设圆柱形密闭锅炉的底半径为R，高为h，则其表面积S＝2πRh＋2πR2由将它代入上式得由解得唯一的驻点又由于制造固定容积的圆柱形密闭锅炉时，一定存在一个底半径，使锅炉的表面积最小.因此，当时，S在该点取得最小值.此时，相应的高即当圆柱形密闭锅炉的高与底直径都等于时，表面积最小，从而使用料最省.......
2023-11-19
-
多元函数的极值分析-高等数学基础详细阅读
5.曲线L：xy=1（x＞0）上求一点，使函数f（x，y）=x2+2y2达到最小值.复习题八一、填空题二、选择题4.设z=xy，则dz=（）.A.dx+dyB.-dx-dyC.xdx+ydyD.yd......
2023-11-20
-
最大最小值规则：哲学100问的解读详细阅读
“最大最小值规则”也叫“最低的最大限度规则”。这就是对“最大最小值规则”的通俗解释，我们可结合下面这张图理解。“最大最小值规则”告诉我们，将三种最坏的情况——C1列进行比较，D1和D2是亏损状态，而D3没有亏损还赚了500元。在罗尔斯看来，人们之所以会选择“差别原则”——“经济的不平等应这样安排，使它们适合于最不利者的最大利益，并与正义的储蓄原则相一致”，正是缘于“最大最小值规则”。......
2023-11-03
-
零基础JavaScript：最大/最小值示范详细阅读
JavaScript采用64位浮点格式表示数字，最小值支持“5e-324”，最大值支持“1.7976931 348623157e+308”。和大多数语言一样，JavaScript的整数有最大值限制，若需要进行超过该值的数值运算，则需要进行特殊处理。JavaScript的最大安全整数是9007199254740991，也就是253-1，默认情况下超过该值的计算都是不可靠的。图5.1.1Number相关常量Number对象定义了数值基础数据，并提供了数字转换函数。图5.1.2Number成员函数运行结果显示：◇ 解析函数Number.parseInt与parseInt完全相等，Number.parseFloat与parseFloat完全相等。......
2023-11-08
-
函数最值计算：连续函数必有最大值与最小值详细阅读
1.设函数f在[a，b]上连续，则f在[a，b]上必有最大值M与最小值m.它们可按以下步骤计算：算出f在（a，b）内的所有可能极值点，记为x1，x2，…......
2023-10-27
-
高等数学上册：最大值与最小值存在定理详细阅读
1）最大（小）值的概念定义1设函数f（x）在区间I上有定义，若x0∈I，对x∈I都有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））则称f（x0）为函数f（x）在I上的最大值（或最小值），记作例如，y＝1－sinx，在闭区间［0，2π］上有而y＝x2在开区间（a，b）（b＞a＞0）内既无最大值又无最小值.2）最大（小）值存在定理定理1在闭区间上连续的函数必在该区间上取得最大值与最小值.证明略.......
2023-11-19
相关推荐