本节将基于随机过程理论和Rice公式对随机车流作用下悬索桥加劲梁的位移响应极值概率分布进行研究。因此，对于随机车流样本作用下桥梁结构响应的极值预测的关键就是证明其响应值为高斯平稳过程。采用样本函数的均值作为位移响应随机过程的均值，取时间间隔为τ，式中相关参数表达式为：在得到界限跨越率之后，即可按照极值分布函数构建最大值的概率分布函数。......
2025-09-30
多元函数的极值与最大最小值
【摘要】：定义 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于点（x0，y0）的点（x，y）：（1）若f（x，y）＜f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）；（2）若f（x，y）＞f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0）.极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z=3x2+4y2在点（0，0）处有
定义 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于点（x0，y0）的点（x，y）：
（1）若f（x，y）＜f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极大值f（x0，y0）；
（2）若f（x，y）＞f（x0，y0），则称函数在点（x0，y0）有极小值f（x0，y0）.
极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.
例1 函数z=3x2+4y2在点（0，0）处有极小值.因为对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零.从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面z=3x2+4y2的顶点.
例2 函数
在点（0，0）处有极大值.因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负.点（0，0，0）是位于x Oy平面下方的锥面
的顶点.
例3 函数z=xy在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点.
以上关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数.设n元函数u=f（P）在点P0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内异于P0的任何点P都适合不等式
则称函数f（P）在点P0有极大值（或极小值）f（P0）.
与导数在一元函数极值研究中的作用类似，偏导数也是研究二元函数的极值问题的主要手段.与一元函数类似，二元函数有以下极值存在的必要条件.
定理1（必要条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零.即有
类似地，如果三元函数u=f（x，y，z）在点（x0，y0，z0）具有偏导数，则它在点（x0，y0，z0）具有极值的必要条件为
与一元函数类似，凡是能使fx（x，y）=0，fy（x，y）=0同时成立的点（x0，y0）称为函数z=f（x，y）的驻点.从定理1可知，具有偏导数的函数，极值点必定是驻点.但函数的驻点不一定是极值点，例如点（0，0）是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值.
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题.
定理2（充分条件） 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令
则f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2＞0时具有极值，且当A＜0时有极大值，当A＞0时有极小值；
（2）AC-B2＜0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
例4 求函数f（x，y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.(https://www.chuimin.cn)
解 解方程组
求得驻点为（1，0）、（1，2）、（-3，0）、（-3，2）.
二阶偏导数
在点（1，0）处，AC-B2=12×6＞0，又A＞0，所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=-5；
在点（1，2）处，AC-B2=12×（-6）＜0，所以f（1，2）不是极值；
在点（-3，0）处，AC-B2=-12×6＜0，所以f（-3，0）不是极值；
在点（-3，2）处，AC-B2=-12×（-6）＞0又A＜0，所以函数在（-3，2）处有极大值f（-3，2）=31.
注 多元函数的极值可能在驻点处取得，也有可能在偏导数不存在的点处取得.例如例2中，函数
在点（0，0）处的偏导数不存在，但该函数在点（0，0）处却具有极大值.因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求函数的最大值和最小值的一般方法是：
将函数f（x，y）在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.
但这种做法由于要求出f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值，因此往往相当复杂.通常遇到的实际问题中，根据问题的性质，知道函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）.
例5 要用铁板做成一个体积为2 m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省.
解 设水箱的长为x m，宽为y m，则其高为
m.此水箱所用材料的面积
可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使该函数取得最小值的点（x，y）.
令
解方程组，得
根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域D：x＞0，y＞0内取得.又函数在D内只有唯一驻点
，因此可断定当
时，A取得最小值，即当水箱的长为
、宽为
、高为
时，水箱所用的材料最省.
从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，立方体的表面积最小.
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