对比之下，后者宽度较大，因而教师知道了前一种证法后，均乐于放弃传统教材中的方法。除了逻辑结构简单之外，能否提供有力的解题方法，也是评价教育数学成果优劣的一条重要标准。数学的心脏是问题。于是，这个任务落在了“教育数学”的肩上。充分发挥正迁移的作用，这个想法贯穿着我们在教育数学领域所做的初步工作。......
2023-10-17
欧几里得的体系：为数学带来美丽花园，却缺乏解题方法
【摘要】：是空间形式本身难于认识，还是欧几里得的体系不够好，把本来容易认识的东西讲难了呢？好的交通系统，应当有“放射型”的交通中心。欧几里得把我们引进了一座精巧雅致的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有简单明了的交通指南。欧几里得体系的又一个令人头痛的问题，是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。所以说欧几里得给我们的几何，不仅是数学，更是艺术！欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。
为什么难学呢？几何学是讲空间形式的。是空间形式本身难于认识，还是欧几里得的体系不够好，把本来容易认识的东西讲难了呢？
对于客观世界的空间形式，我们奈何它不得。所以，我们的改革只有从欧几里得的体系本身寻找原因，挑老先生的毛病！
学习一门课程，好比游览一个城市；课程的逻辑体系，就好比城市的交通系统。好的交通系统，应当有“放射型”的交通中心。交通中心应该四通八达，找到它，我们到哪儿都方便。而欧几里得的几何体系又怎么样呢？它没有一个突出的中心，没有一个能让学生俯瞰全局的制高点。它的逻辑结构是串联式而不是放射型的。《几何原本》的每一节都那么重要，任何一部分没学好，往前走的路就断了，这就是串联式逻辑结构的特征。欧几里得把我们引进了一座精巧雅致的古代园林，这儿有目不暇接的美景，却没有简单明了的交通指南。你不知道哪里才是通往园林各个角落的中心点，只有小心翼翼地跟在这位老向导的后面，沿着一条曲曲折折的小径饱览胜景。稍不留心，就会迷路！
欧几里得体系的又一个令人头痛的问题，是它没有提供一套强有力的、通用的解题方法。我们学会了加减乘除，就会算很多算术题：学会了解二元一次方程组，就能解大量方程式应用题。但几何与算术、代数不一样，尽管我们学了一堆几何定理，仍然会在一些其实并不难解的几何习题面前束手无策。这是为什么呢？其实道理也很简单，欧几里得给我们的基本解题工具，主要是全等三角形和相似三角形；而许多题目里出现的图形，并不包含这些。要用上它们，往往要画辅助线。可怎样画辅助线，需要想象与创造。所以说欧几里得给我们的几何，不仅是数学，更是艺术！(www.chuimin.cn)
几何学虽然已有2000多年的历史，但就解题方法而言，直到20世纪80年代，它仍停留在“一题一法”的水平上。
整个数学教育是个大系统，几何教学是其中的一个子系统。它和大系统匹配得如何呢？它有没有充分利用大系统为它提供的环境支持呢？它有没有为大系统尽可能多地作出自己的贡献呢？
欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。有人把欧氏几何比作一颗没有串上金线的珍珠。它既不以小学生们掌握的几何知识为发展基地，又不用代数所提供的关于方程式的知识作为解题的锐利武器。它拥有丰富的习题，但并不准备为姐妹课程——代数提供复习、巩固、提高的用武之地。它更没有暗示我们解析几何与高等数学即将出现。这一切确实令人遗憾。
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