由螺栓预紧力造成的螺栓孔附近应力分布也是热-机耦合应力分布的重要组成部分。热-机耦合作用下应力最大值出现在螺栓预紧力最大的螺栓孔附近。总的来说，零件的热-机耦合应力分布是由热负荷与机械负荷共同决定的。随着转速的增加，气体爆发压力增大，转子最大热-机耦合应力增加且增幅较大。图3.34气缸内壁热-机耦合应力随转速变化图3.35所示为转子最大热-机耦合应力随转速的变化。......
2023-06-23
耦合材料损伤的应力更新算法
【摘要】：对率形式本构方程进行积分的算法称为应力更新算法。在UMAT中，使用试应力概念，应用基于完全隐式向后Euler法的径向返回方法得到累积塑性应变增量表达式，继而确定材料弹塑性状态和损伤状态，最终得到增量步或迭代步结束时的应力张量分量、应变张量分量和损伤变量值。这就是增量步中的应力更新过程。
对率形式本构方程进行积分的算法称为应力更新算法。在UMAT中，使用试应力概念，应用基于完全隐式向后Euler法的径向返回方法得到累积塑性应变增量表达式，继而确定材料弹塑性状态和损伤状态，最终得到增量步或迭代步结束时的应力张量分量、应变张量分量和损伤变量值。
图形返回算法是本构模型积分的重要算法，这一算法目前已得到广泛应用。Von Mises塑性的径向返回算法就是图形返回算法的特例。图形返回算法包括一个初始弹性预测步和塑性调整步，初始弹性预测步包含对屈服表面的偏离（应力空间内），塑性调整步使应力返回到更新后的屈服表面。该方法的第一部分是一个积分算法，用于将一组本构方程转换为一组非线性代数方程，第二部分则是对非线性代数方程的求解算法。为此在我们的计算中积分算法使用完全隐式的向后Euler方法，求解算法使用Newton－Raphson算法。
1.完全隐式的向后Euler法
在完全隐式的向后Euler方法中，步骤结束时需要计算塑性应变和内变量增量，同时强化屈服条件。在本书中，材料的损伤变量D即被定义为一个内变量，在每一增量步内通过损伤演化方程计算损伤增量，从而得到增量步结束时材料的损伤状态。随后，在下一增量步中带入更新后的损伤变量值，根据公式表达体现损伤对材料弹性模量、屈服强度、强化规律的影响，继而得到材料考虑损伤时的应力应变状态。由此，积分算法可以写成：
主程序首先在时刻n给出了一组
和应变增量Δεij，上式是一组求解关于
的非线性代数方程。式中，qij为内变量，rij为塑性流动方向，Δλ为塑性一致性参数，内变量的演化影响着材料的塑性和损伤行为。由于更新前的变量来自于前一个增量步结束时的收敛值，这就避免了非物理意义的效果，不会发生求解路径相关塑性方程时由于使用不收敛的塑性应变和内变量值而导致的伪卸载。
将塑性应变表达式（5－8）代入本构关系表达式（5－10），可以得到关系式：
其中，
是弹性预测试应力，数值
是塑性修正量，它沿增量步结束点处塑性流动方向返回或投影试应力到更新后的屈服表面（考虑硬化）。由总体应变增量驱动弹性预测状态，由塑性参量增量－n＋1Δλ驱动塑性修正状态。故在弹性预测阶段，塑性应变和内变量值保持固定；而在塑性修正阶段，总体应变值保持不变。
2.切向预测、径向返回算法
切向预测、径向返回算法利用偏空间中试应力张量和实际应力张量共轴的特点，方便地得到了实际应力张量方向nij。从前述对Lemaitre本构方程组和损伤演化动力律的公式总结看出，可以从塑性和损伤演化过程中偏空间方向张量分量n＋1 nij和等效塑性应变增量n＋1Δp进一步推出材料的损伤增量n＋1ΔD、各向同性硬化应力增量n＋1ΔR、背应力分量增量
、塑性应变分量增量
，最终结合上一增量步的计算结果，得到增量步结束时的材料应力分量n＋1σij。
根据塑性损伤理论表达，累积塑性应变增量Δp由恒为正的塑性一致性参数Δλ和损伤变量D共同决定，增量形式Lemaitre损伤本构理论中所有的公式的具体表达形式可由塑性一致性参数Δλ和偏空间方向张量nij共同决定。
偏空间方向张量可以用预测应力偏量分量和Mises等效应力的关系表示：
J2理论中的塑性流动方向rij为屈服面的法向，即rij＝fσij。在偏应力空间，Von Mises屈服面为环状，屈服面的法向通过圆心：
3.塑性一致性参数的确定
为判断是否发生塑性行为而建立的试应力为：
其中，μ为拉梅常数，有G＝μ，G为剪切模量；材料无损时，有μ＝μ0；eij为应变偏张量分量，
为塑性应变偏张量分量。根据损伤塑性流动法则：
该表达式适用于发生塑性的情况，允许的最终应力为：
应用nij的定义，由于塑性强化过程中试应力张量与实际应力张量共轴，故有：
将上式和
的表达式代入损伤本构方程的屈服判据，即可得到塑性一致性参数n＋1Δλ和累积塑性应变增量：
4.增量步中的应力更新过程
迭代开始时对应力应变设置初始值：
在第k次迭代时的应力为：
定义屈服面的单位法向量矢量nij和塑性流动方向rij，且在整个算法的塑性修正状态过程中始终保持不变，因此塑性应变
的更新是Δλ的函数。
在第k次迭代时检查屈服条件：
若收敛则迭代完毕，增量步结束。否则将进一步计算塑性一致性参数的增量：
对塑性应变和内变量进一步更新，将更新后的变量返回屈服条件检查，整个过程将重复至收敛为止，可以认为当收敛时，kδλ＝0。这就是增量步中的应力更新过程。
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