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高阶系统的时域分析技巧

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：采用三阶及三阶以上微分方程描述的系统通常称为高阶系统。在控制工程中，几乎所有的控制系统均可视为高阶系统。由于高阶微分方程求解比较复杂，导致了高阶系统的时域分析和动态性能指标的计算比较困难。因此，只要熟悉一阶系统响应和二阶系统欠阻尼响应的特征，结合系统闭环零极点的特性，不难分析高阶系统。例3-3 已知系统的闭环传递函数为试用主导极点方法求系统动态性能指标tr、tp，ts和σ%。图3-18高阶系统的阶跃响应及性能指标

采用三阶及三阶以上微分方程描述的系统通常称为高阶系统。在控制工程中，几乎所有的控制系统均可视为高阶系统。由于高阶微分方程求解比较复杂，导致了高阶系统的时域分析和动态性能指标的计算比较困难。为了便于系统的分析和设计，通常抓住主要矛盾而忽略次要因素，利用闭环主导极点的概念，把高阶系统近似为一、二阶系统，进而估算高阶系统的性能指标。

设高阶系统闭环传递函数一般表达式为

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假设系统的实极点为sj=-pj，共轭复极点为sl，l+1=-ζjωnk+jωdk，系统的零点为si=-zi。将式（3-37）写成传递函数零极点形式，即

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式中，q+2l=n，设pj、ζk、ωnk、ωdk均大于零。

设系统的输入信号为单位阶跃信号，系统的输出响应为

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对上式进行拉氏反变换可得

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式中，Bk和Ck为C（s）在对应极点处的留数。

由上述分析可以得出以下几点。

（1）系统单位阶跃响应分为稳态分量和瞬态分量两部分，由一阶系统和二阶系统的响应叠加而成。其中，稳态分量与输入信号相关，瞬态分量形式由系统闭环传递函数的极点性质决定。

（2）系统闭环传递函数极点离虚轴越远，则表明响应的瞬态分量衰减速度越快；反之离虚轴越近，其对应的瞬态分量衰减越慢，且该分量在瞬态过程中占的比重越大。如果一个极点或一对共轭极点离虚轴最近极点，周围没有其他零极点，其实部的绝对值比其他极点实部的绝对值小5倍以上，则称该极点为系统的主导极点。

（3）如果闭环系统中一个零点和一个极点相距很近，常称为一对偶极子。偶极子在瞬态响应中影响很小，可以忽略不计。在控制工程中，一般认为一对偶极子的距离比离虚轴的距离小一个数量级，可以认为这对零极点是偶极子对。(https://www.chuimin.cn)

总之，在分析和设计高阶系统时，如果找到一个实数主导极点或一对共轭复数主导极点，高阶系统就可以近似成一阶系统或二阶系统来分析。因此，只要熟悉一阶系统响应和二阶系统欠阻尼响应的特征，结合系统闭环零极点的特性，不难分析高阶系统。

例3-3 已知系统的闭环传递函数为

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试用主导极点方法求系统动态性能指标tr、tp，ts和σ%。

解：闭环传递函数零极点表示形式为

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其中，零点z=-2.1，极点p1=-8、p2=-2、

显然，极点p3，4离虚轴最近且满足主导极点的条件，极点p2和零点z相距很近，是一对偶极子。因此，系统可近似为

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由二阶系统的性能指标计算公式可得

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利用MATLAB软件，绘制出高阶系统的阶跃响应及性能指标如图3-18所示，可见经过处理简化后的系统与原系统的性能指标基本一致。

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图3-18　高阶系统的阶跃响应及性能指标