式即为平面杆系结构位移计算的一般公式。分别写出虚设力状态上的外力和内力在实际变形状态相应的位移和变形上所做的虚功，并由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。将式代入式得__式为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。......
2025-09-29
杆端位移对杆端力的影响
【摘要】：已知A端的转角位移为φA，B端的转角位移为φB，A、B两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移为ΔAB。现求由其引起的杆端内力。关于它们的正负号规定如下：杆端转角φA、φB均以顺时针方向为正；杆件两端的相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针方向转动为正。再以弯矩符号MAB代替X1，用MBA代替X2，上式便可写成这就是由杆端位移φA、φB和ΔAB所引起的杆端弯矩的计算公式。此外，由静力平衡条件还可求出杆端剪力。
如图15-6（a）所示两端固定的单跨超静定梁，两端的支座发生了位移。已知A端的转角位移为φA，B端的转角位移为φB，A、B两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移（亦简称侧移）为ΔAB（AB杆沿水平方向和竖直方向的平行移动，均不引起杆端内力，故只需考虑A、B两点间的相对线位移的影响）。现求由其引起的杆端内力。关于它们的正负号规定如下：
（1）杆端转角φA、φB均以顺时针方向为正；杆件两端的相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针方向转动为正。
（2）杆端弯矩规定以对杆端以顺时针方向旋转为正（对结点或支座则以反时针方向旋转为正）。
（3）杆端剪力的正负号规定同前。
图15-6所示的杆端弯矩及位移均以正值标出。
图15-6 两端固定的单跨超静定受力分析
用力法求解这一问题时，可取如图15-6（b）所示的简支梁为基本结构，其多余约束反力为杆端弯矩X1、X2和轴力X3。目前，可以认为轴向约束反力X3对梁的弯矩并没有影响，可不予考虑，只需求解X1和X2。
根据沿X1和X2方向的位移条件，可建立力法方程如下：_
式中的系数和自由项均可按前面的方法求得。作出
图[图15-6（c）]、
图[图15-6（d）]后，由图乘法可得系数
(https://www.chuimin.cn)
自由项Δ1Δ和Δ2Δ是由于支座移动所引起的简支梁两端的转角位移，由图15-6（e）可见，支座转动并不使基本结构产生任何转角位移；而支座两端相对线位移所引起的两端转角为
式中，βAB称为弦转角，亦以顺时针方向为正。
将以上所求得的系数和自由项代入力法方程解得
为了方便，令
称为杆件的线刚度。再以弯矩符号MAB代替X1，用MBA代替X2，上式便可写成
这就是由杆端位移φA、φB和ΔAB所引起的杆端弯矩的计算公式。此外，由静力平衡条件还可求出杆端剪力。即
将MAB、MBA代入上式即得
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