欧几里得借此将各个孤立的几何证明系统统一起来,其《几何原本》共分13 卷,包括119 条定义、5 条公设、5 条公理和465 条命题。故《几何原本》是公理化系统的第一个成功范例。图3.9.7欧几里得图3.9.81482 年《几何原本》书影公理1 等于同量之量彼此相等:若a=b,b=c,则a=c。至今除《圣经》外再无任何西方书籍能像欧几里得的《几何原本》一样被译成如此多种语言,拥有如此众多的读者。......
2023-11-23
几何大师欧几里得与《几何原本》：数学家的传奇
【摘要】：欧几里得在20 世纪以前,欧几里得几乎就是几何学的同义语。正是欧几里得使几何学成为一门独立的科学,他把逻辑证明系统地引入数学之中,强调逻辑证明是确立数学命题真实性的基本方法。《几何原本》所用公理化逻辑演绎范式几乎决定了其后整个西方数学和科学发展史。至19 世纪末,《几何原本》的印刷版本有一千余种,如今世界各国主要文种皆有《几何原本》译本。图1.1.2中译15 卷本《几何原本》书影
(1)欧几里得
在20 世纪以前,欧几里得几乎就是几何学的同义语。 欧几里得活动于公元前300 年左右,关于其生平现在知之较少。 他早年可能求学于雅典学院,深受柏拉图学说的影响,后接受托勒密王邀请到亚历山大城工作。 早期文献记载了其两则轶事。
其一:可能托勒密王已初步感受到几何之美,但又感觉学习过于辛苦,故询问欧几里得,是否有学习几何学的捷径。 欧几里得答曰:“尊敬的陛下,在几何王国里没有王者之道。”意即“求知无坦途”。 可推测欧几里得是位温良敦厚的教育家,对有志数学之士总是循循善诱,但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风。
其二:某学生学了第一个几何命题后,就问欧几里得学了几何学有何益处,欧几里得马上说:“给他三个钱币,因其想在学习中牟利。”也许是受柏拉图的影响,欧几里得淡泊名利,反对狭隘的实用观点。 柏拉图有个偏激观点:将数学知识应用到实际问题中是对数学的一种玷污。 他认为,数学不应该是一种现实的问题,而是一种永远的真理和学问。 在《几何原本》中,所有命题都是演绎推理而来的,没有任何实际应用背景。 然而在现实生活中,欧几里得的许多命题皆可找到其应用。
中世纪的欧洲大学都学习几何学,然而其水平相当低,通过一例可略见一斑。 《几何原本》第一卷的命题5 为:等腰三角形两底角相等,两底角的外角也相等。 现通常是引顶角平分线来证明之,但该书命题9 才是作角平分线,这里尚不能用,只能用前4 个命题以及公设、公理来证明,因而其证明显得有些繁杂。 中世纪的大学生感觉一时很难领会,故该命题被戏称为“笨人难过的桥”“驴桥”(pons asinorum 或asses'bridge)。 在该命题证明中,欧几里得应用了演绎推理:所有苹果都是红的,这儿有个苹果,故该苹果一定是红的。(www.chuimin.cn)
(2)《几何原本》的历史贡献
《几何原本》第一卷首先给出23 个几何学定义,如点、线、面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等。 前7 个定义实际上只是几何形象的直观描述,后面的推理完全没有用到。 定义之后是5 个公设,公设后面还有5 条公理,以后各卷没有再列其他公理。 公设主要是关于几何的基本规定,而公理是关于量的基本规定,将二者分开始于亚里士多德,现代数学则一律称为公理。 欧几里得利用所给定义、公设和公理,由浅入深地揭示了一系列定理间的逻辑关系。 他用尽可能少的公理推证出几百个几何定理,这无论是在当时还是在现代都是一件了不起的事情!
当然,《几何原本》并非欧几里得个人独撰而成,他是将公元前7 世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中。 以前积累的数学知识可比作木石、砖瓦,欧几里得借助于逻辑方法这些砂浆、钢筋将它们组织起来,加以分类、比较,揭示它们彼此间的内在联系,建成了巍峨的几何大厦。 正是欧几里得使几何学成为一门独立的科学,他把逻辑证明系统地引入数学之中,强调逻辑证明是确立数学命题真实性的基本方法。 同时,示范规定了几何证明方法:分析法、综合法及归谬法等。 《几何原本》所用公理化逻辑演绎范式几乎决定了其后整个西方数学和科学发展史。
至19 世纪末,《几何原本》的印刷版本有一千余种,如今世界各国主要文种皆有《几何原本》译本。 最早的中文译本于1607 年由利玛窦和徐光启合译,他们只译出了前6 卷,1857 年伟烈亚力和李善兰合译出后9 卷。 作为首先接触《几何原本》逻辑体系的中国学者,徐光启认为:“此书有四不必:不必疑,不必揣,不必试,不必改。 有四不可得:欲脱之不可得,欲驳之不可得,欲减之不可得,欲前后更置之不可得。”他还说:“(此书)有三至、三能:似至晦,实至明,故能以其明明他物之至晦;似至繁,实至简,故能以其简简他物之至繁;似至难,实至易,故能以其易易他物之至难。”
图1.1.2 中译15 卷本《几何原本》书影
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