区间与邻域的定义及分类

2023-11-22 理论教育版权反馈

【摘要】：一、区间与邻域1.区间定义1.1 满足不等式a＜x＜b（a＜b）的所有实数x的集合，称为以a、b为端点的开区间，记作（a，b）.类似地，有闭区间[a，b]={x|a≤x≤b}，半开区间（a，b]={x|a＜x≤b}和[a，b）={x|a≤x＜b}，它们称为有限区间.而区间（a，+∞）、[a，+∞）、（-∞，a）、（-∞，a]称为无限区间.2.邻域定义1.2 设a∈R，δ>0，数集{x|x-a＜δ}

一、区间与邻域

1.区间

定义1.1 满足不等式a＜x＜b（a＜b）的所有实数x的集合，称为以a、b为端点的开区间，记作（a，b）.

类似地，有闭区间[a，b]={x|a≤x≤b}，半开区间（a，b]={x|a＜x≤b}和[a，b）={x|a≤x＜b}，它们称为有限区间.而区间（a，+∞）、[a，+∞）、（-∞，a）、（-∞，a]称为无限区间.

2.邻域

定义1.2 设a∈R，δ>0，数集{x|x-a＜δ}称为a的δ邻域，记为

U（a，δ）={x||x-a＜δ}=（a-δ，a+δ）.

a称为邻域的中心；δ称为邻域的半径.常又表示为U（a），简称为a的邻域.

去掉中心a的数集{x|0＜x-a＜δ}称为a的去心δ邻域，记为

U°（a，δ）={x|0＜x-a＜δ}=（a-δ，a+δ）-{a}.

常又表示为U°（a），简称为a的去心δ邻域.

类似地，数集{x|0＜x-a＜δ}称为a的右邻域，数集{x|-δ＜x-a＜0}称为a的左邻域.

二、函数概念

1.变量

在研究数学的过程中常常涉及到各种各样的量，其中，变化的量称为变量，不变化的量称为常量或常数.函数是考察变量之间关系的重要概念.

例如，球的半径r与该球的体积V的关系为

式中，π是圆周率，它是常量.

对于任意r∈[0，+∞），都对应一个球的体积V.r和V都是变量，它们之间的关系可以用函数来表达.

2.函数定义

定义1.3 设D是非空数集，若对D中任意数x（x∈D），按照某一确定的对应法则f，总有唯一确定的数y∈R与之对应，则称f是定义在D上的函数，记为

简写为“y=f（x）”，或称“f（x）是x的函数（值）”.其中，数x称为自变量，数y称为因变量.

数集D称为函数f的定义域，函数值的集合f（D）={f（x）|x∈D}称为函数f的值域.函数的两要素为定义域和对应法则，与变量用何符号表示没有关系.

3.单值函数与多值函数

在函数y=f（x）的定义中，要求对应于x值的y值是唯一确定的，这种函数也称为单值函数.如果取消唯一这个要求，即对应于x值，可以有两个以上确定的y值与之对应，那么函数y=f（x）称为多值函数.例如，函数是多（双）值函数.

以后若不特别声明，只讨论单值函数.

4.函数举例

例1 取整函数y=[x]，表示对于任意x∈R，对应的y是不超过x的最大整数.

如[2.5]=2，[3]=3，[0]=0，[-π]=-4，图形（见图1-1）.

例2 符号函数

例3 绝对值函数，图形（见图1-2）.

图1-1

图1-2

上述几个函数的定义域被分成了若干部分，而在不同部分上，函数值用不同的表达式表示，这样的函数称为分段函数.

三、函数性质

1.有界性

定义1.4 设函数f（x）在数集A上有定义，若存在M>0，使得任意x∈A，有f（x）≤M，则称函数f（x）在A上有界，否则称f（x）在A上无界.

例如，函数y=sinx在（-∞，+∞）内是有界的，因为对于任意x∈R，都有|sinx≤1.函数在（0，1）内是无界的，在[2，+∞）上是有界的.

2.单调性

定义1.5 设函数f（x）在数集A上有定义，若对任意x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂）（或f（x₁）＞f（x₂）），则称函数f（x）在A上是严格单调增加（或严格单调减少）的；若将上述不等式改为f（x₁）≤f（x₂）（或f（x₁）≥f（x₂）），则称函数f（x）在A上是单调增加（或单调减少）的.

例如，函数y=x³在（-∞，+∞）内是严格单调增加的.函数y=2x²+1在（-∞，0）内是严格单调减少的，在[0，+∞）内是严格单调增加的.因此，y=2x²+1在（-∞，+∞）内不是单调函数.

3.奇偶性

定义1.6 设函数f（x）定义在数集A上，若对于任意x∈A，有-x∈A，且

f（-x）=-f（x）（或f（-x）=f（x））

则称函数f（x）是奇函数（或偶函数）.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.(www.chuimin.cn)

例如，函数y=x⁴+3x²，，都是偶函数.函数y=，y=x³，y=xcosx都是奇函数.

4.周期性

定义1.7 设函数f（x）定义在数集A上，若存在l>0，对于任意x∈A，有x±l∈A，且f（x±l）=f（x），则称函数f（x）是周期函数，l称为函数f（x）的周期.

由定义可知，周期不唯一.若l是函数f（x）的周期，则2l也是它的周期，nl（n∈N）也是它的周期.若函数f（x）有最小的正周期，通常称之为函数f（x）的基本周期，简称为周期.

例如，正弦函数y=sinx就是周期函数，周期为2π.再如，常数函数y=1也是周期函数，任意正实数都是它的周期，它没有基本周期.

四、复合函数与反函数

1.复合函数

定义1.8 设函数z=f（y）定义在数集B上，函数y=φ（x）定义在数集A上，且φ（A）⊂B（φ（A）是B的一个非空子集）.对于任意x∈A，按照对应关系φ，对应唯一一个y∈B，若再按照对应关系f，对应唯一一个z，即对于任意x∈A，对应唯一一个z.于是可以在A上定义一个函数，表示为，称为函数y=φ（x）与z=f（y）的复合函数，即