结构损伤模拟与分析：描述疲劳微裂纹的损伤演化方程

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：疲劳损伤演化方程必须能够描述绝大多数微裂纹成核与扩展行为的如下两个特征，即微裂纹的成核长度不超过晶粒的尺寸，以及微裂纹尖端扩展到第一个晶界处即停止扩展。由于此时的微裂纹已停止扩展，即：按照绝大多数微裂纹的成核与扩展行为和疲劳损伤变量的定义，得到多尺度疲劳损伤模型如下：同时得到多尺度疲劳损伤演化率为：

疲劳损伤演化方程必须能够描述绝大多数微裂纹成核与扩展行为的如下两个特征，即微裂纹的成核长度不超过晶粒的尺寸，以及微裂纹尖端扩展到第一个晶界处即停止扩展。

用n（a，a0，x，N／Nf）表示单位体积内在循环到N／Nf时，由长度为a0的裂纹尖端到临近扩展方向晶界的距离为x的成核裂纹扩展到a的微裂纹数目。那么，单位体积内长度区间为（a，a＋Δa），并且是由长度为a0的裂纹尖端到临近扩展方向晶界的距离为x的成核裂纹扩展而来的微裂纹在疲劳循环到［N／Nf，N／Nf＋Δ（N／Nf）］之间增加的数目可由如下积分得到：

在疲劳循环到N／Nf时，长度为a的微裂纹的裂纹尖端是否扩展到晶界处，有两种情况需要考虑：

第一种情况：当疲劳循环到N／Nf时，裂纹尖端未达到晶界处，即疲劳循环到N／Nf时，微裂纹未停止扩展，在此阶段单位体积内微裂纹增加的数目包括两部分贡献，第一部分包括此阶段单位体积内微裂纹的成核造成的，可表示为：

第二部分包括在此阶段单位体积内微裂纹的扩展造成的，可表示为：

其中，为长度为a的微裂纹在循环到（N／Nf）′时的扩展率。

当Δ（N／Nf）→0，Δa→0，由式（3－13）、（3－14）、（3－15）得到第一种情况下的微裂纹密度的平衡方程：

第二种情况：当疲劳循环到N／Nf时，裂纹尖端达到晶界处，即疲劳循环到N／Nf时，微裂纹已停止扩展，在此阶段单位体积内微裂纹增加的数目只包括此阶段单位体积内微裂纹的成核数目，由式（3－13）、（3－14）得到第二种情况下的微裂纹密度的平衡方程：(https://www.chuimin.cn)

将式（3－10）、（3－11）作变量替换成N／Nf的函数形式：

结合式（3－18）、（3－19）和初始条件N／Nf＝0时，n（a，a0，x，N／Nf）＝0时，n（a，a0，x，N／Nf）＝0，分别求解式（3－16）、（3－17），得到在这两种情况下，疲劳循环到N／Nf时，长度为a，并且是由长度为a0，裂纹尖端到临近扩展方向晶界的距离为x的成核裂纹扩展而来的单位体积内微裂纹数目：

对于第一种情况，设定疲劳循环到N／Nf时，长度为a的微裂纹是由长度为a0，裂纹尖端到临近扩展方向晶界的距离为x，在疲劳循环到N1／Nf时出现的成核裂纹扩展而来的。并且，用n［a，a0（N1／Nf），x（N1／Nf），N／Nf］表示此种情况的单位体积内微裂纹数目。由于在此时，微裂纹还未停止扩展，N1／Nf由式（3－19）求得，即：

对于第二种情况，设定疲劳循环到N／Nf时，长度为a的微裂纹是由长度为a0，裂纹尖端到临近扩展方向晶界的距离为x，在疲劳循环到N1／Nf时出现的成核裂纹扩展而来的。由于此时的微裂纹已停止扩展，即：

按照绝大多数微裂纹的成核与扩展行为和疲劳损伤变量的定义，得到多尺度疲劳损伤模型如下：

同时得到多尺度疲劳损伤演化率为：

结构损伤模拟与分析：描述疲劳微裂纹的损伤演化方程

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