数学探究教学的基本模式—《数学教学论》中的成果

数学教学中的探究过程既是依据一定的教学目的、任务，系统学习前人积累的数学基础知识、基本技能的过程，更是增长能力，特别是创新精神和实践能力，形成科学观念和态度，个性和谐发展的实践过程，是认识与实践、继承与创新的统一过程。实现这样的课程目标，建构主义要求学生成为有意义的主动建构者，并在三个方面发挥主体作用：一是要用科学探索的方法自主参与建构知识的意义；二是要在建构意义过程中主动收集、分析有关的信息和情报，对所学习的问题提出各种假设并努力加以验证；三是把当前学习内容所反映的事物尽量与自己已经知道的事物相联系，并对这种联系加以认真的思考。“联系”与“思考”是意义建构的关键。如果能把联系与思考的过程与合作学习中的交流、讨论、表征结合起来，那么学生的意义建构的效率会更高、质量会更好。因此，数学课堂教学中突出探究教学，可使学生在数学基础知识、基本技能的学习过程中，积极主动参与活动，有效地培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决问题的能力，亲身体验数学发现和创造的历程。

数学教学如何进行“数学探究”呢？探究教学是通过模式或模型对数学科学探究进行模拟，必须反映出数学活动的特点。

从本质上讲，应该由两个观点来看待数学^[14]：（1）数学是形式演绎的严谨的知识实体，正如专著和高层次教科书中所展示的；（2）数学是人类的活动。数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实不排除必须将数学看成是个创造性过程：实际上，我们要学生知道，数学本质上是人类活动，数学是人类发明的。创造数学的过程必然包括有精神启示、犹豫、接受和反驳的各种时刻，也包含了多少世纪的努力、不断的改正与精雕细刻。我们要求他们不仅学习形式的、演绎的陈述序列，从而导出定理，也要求他们能自己制作数学陈述、分别建立证明，不仅从形式上而且直觉地估计数学陈述的正确性。

Courant与Robbins在其著作《什么是数学？》中写道：“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望。它的基本要素是逻辑与直觉、分析与建造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用和高度的价值。”

可以认为数学科学探究包含两个层面：一是数学科学探究的基本精神，如“人类的意志”、“积极的意愿”、“精美而完善的愿望”等；二是数学探究的基本程序，其中包括数学思维的一些方法，如“逻辑与直觉”、“分析与建造”、“一般性与个别性”等　数学探究教学应该是对数学科学探究的这两个层面的模拟。

（一）数学科学探究的基本精神

科学探究的基本精神是推动科学活动的动力，是科学活动永无止境的精神源泉，其内涵十分丰富，中外学者对此作了大量的探索。一般认为它主要包括以下三个方面：第一，求知精神，这是科学探究的首要特征，没有它就不会有人类对宇宙万物的无穷探索。日落日出，斗转星移，花开花落，季节变化，大自然中绚丽多彩、变化万千的现象激发人们的好奇心和寻求其奥秘的愿望，试图理解自然，便开始了科学探究的历程，并形成了所谓的学术传统。因此，可以说好奇心和求知欲引导人们进入科学的大门。第二，进取精神。当科学家在探索过程中遇到新问题或发现新现象时，他们既立足于已有的知识，又不囿于传统的理论框架，而充分发挥自己的想象力和创造力，积极大胆地提出新思想或假设。进取心是假设得以建立的前提，没有科学的假设也就不会有科学的验证活动，进而也就不会有科学的发展。正如恩格斯所说：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说”。可以说，正是这种进取精神，使得科学家在探求真理的过程中，不唯上，不唯书，不唯师，不屈服于外来压力和长官意志，也不迷信任何权威和现有理论，始终保持清醒的头脑，独立思考，敢于怀疑，大胆假设，勇于创新。第三，求实精神。探究活动要保证其科学性，假设就必须是可以被检验的，并经得起检验。对于人类的其它事业，如文学、艺术或宗教，人们可以提出各种假设，它们可以具有高度的创新性或神秘性，这也许没有什么不合适。但是在探索宇宙基础上形成的关于自然现象的假m，如果不通过检验证明它们是否有效，就无科学探索或科学活动而言。科学假设是否具有真理性，是否正确反映了客观世界的本来面目，需要科学实验来检验。经过科学验证，合理的科学假设被确立，错误的假设被抛弃。正是这种科学探究的求实精神，才使得科学假设或理论的真理性得以保证，也正是因为如此，它也成为科学之所以是科学，科学区别于宗教、迷信的、非科学的唯一标准。

（二）数学科学探究的基本程序

科学探究的程序表明科学探究要先做什么，后做什么，再做什么。程序是从各种不同的科学探究活动过程中概括出来的，实际上是科学探究的操作性定义，与科学探究的抽象定义相比较，它给人的印象更加直观、具体，有利于从实践上去把握或在实践上运用。有人认为科学探究的基本程序是：形成问题、建立假设、设计研究方案、检验假设、表达或交流结果；也有人从比较的角度出发，认为科学探究包括形成科学问题、收集数据、建立假设、检验假设、交流结果这五个基本特征。数学科学探究是科学探究的一种，也有自己的特征。朱梧價先生对数学活动过程作了深入的分析，并给出图示：

图7-8　数学活动的过程

朱梧價先生认为前一阶段是创新思维，以形象思维、直觉思维为主，后一阶段是验证过程，以逻辑思维为主。单墫先生认为^[15]：实际上，前一阶段也渗透逻辑思维，在后一阶段也借助于形象思维与直觉思维。

图7-9　数学探究教学的基本过程

从科学探究、数学活动过程两个维度考察过程的共同要素，主要是：问题的提出，建立猜想或形成命题，科学解释与证明，成果评价与交流应用。根据认知主义教学观，我们将共同要素整合优化，建立如图7-9所示的与数学科学探究既有联系又有区别的数学探究教学的基本过程。

上述数学探究教学的基本过程与《普通中学高中数学课程标准（实验）》所强调的数学探究的过程——观察发现数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探索适当的数学结论或规律，给出解释或证明基本是一致的，是对数学探究的模拟，当然，实际的数学科学探究非常复杂，远不是某个简化的程序所能精确反映的，而且不同的研究者会提出不同的程序，但这不影响人们以此为模式来展开数学探究教学，其原因就在于教学不是数学本身，探究教学是数学科学探究的类似而不等于数学科学探究。

（三）数学探究教学过程的环节与教学功能

数学探究教学过程包含四个基本环节，每一个环节都体现一定的教学功能。

1.问题提出

创设问题情境，使学生积极投入到问题探究之中。科学探究是从问题开始。宋朝哲学家朱熹说过：“学贵善疑”，“大疑则大悟，小疑则小悟，不疑则不悟”，怀疑—问题—思考是学有成就的必要条件。问题的提出通常依赖情境的创设。当前的学习内容与学习者原有的数学认知结构中的相关知识产生不和谐、不平衡时，疑虑也就产生了。创设问题情景通常需要具备三个条件：一是学习者能否在先前经验的基础上觉察到问题的存在；二是探究的内容对于学习者来说一定是新的未知，经过努力是可掌握的；三是能否激发探究者的认知冲突、需要和期望。其中学习者能否在先前经验的基础上觉察到问题的存在是关键性环节，正如爱因斯坦所指出的：“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许是数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”问题要有难度，通过努力又能达到目标。有难度要求问题高于学生现有水平，造成形式认知冲突，打破原有认知平衡，激发学生的探究心理，这样学生的注意力集中，心智活跃，充满热切的心情和克服困难的意志。问题必须建立在学生的最近发展区上，遵循可接受性原则，即难度要适当，否则学生不能理解和认同。因此，问题必须是学生经过努力思考可以解决的。学生的问题来源一般有三个，一是从教材提供的案例和背景材料中发现和建立；二是从教师提供的案例和背景材料中发现和建立；三是在学习数学知识、技能、思想、方法的过程中发现和提出。教师应特别鼓励学生在学习的过程中发现和提出自己的问题加以研究。

创设问题情境就是在教学中创造一系列“愤悱点”，通过设疑、启疑、探疑、释疑，引导学生思考，逐渐展开，使学生动脑动手，抽象概括、归纳演绎、发散集中，验证判断，使整个教学过程充满生机与活力。

2.建立猜想 形成命题

利用假设的方法，有根据地进行猜想、联想，明确解决问题的途径和方法。

在数学探究活动中，在对探究的问题所涉及到的知识和事实材料不够充分的情况下，一方面，要进一步收集有关事实和资料，架设新旧知识的桥梁。要让学生在数学探究的过程中，学会查询资料、收集信息、阅读文献，作积极有意义的选择。这里，资料和信息的载体可以是文献资料、数学实验，也可以是网络资源或师生交流过程的表征。在一个开放的教学环境中，培养学生自主、自觉收集事实和加工处理信息的能力犹为重要。另一方面，人们可以凭借已有的事实和先前的经验，以假设的形式进行大胆探索。假设（猜测）是根据已有的资料和客观事实，对探讨的问题设想出来的一种或几种可能的答案、结论。就其结构而言，假设包含已知事实和推测性结论两种基本成分，假设通过这两种成分的搭配明确解决问题的途径，在条件和结果之间建构设想，这是科学探究活动的最重要的特征之一。

在探究性学习活动中，教师应针对班级中不同水平层次的学生群体，使每个学生能有机会表达与自身水平相适应的见解，要引导学生自己提出假设，或在教师的引导点拨下提出假设。在可能的条件下，教师要组织协作学习，并在合作学习过程中进行引导、支持和强化学生对假设合理性的探讨，使学生拥有成功的体验。

3.科学解释与证明

重证实与证伪，使学生主动参与实验、实践，体验数学证明的过程。

假设提出后，就要想方设法去检验它，用一些实例对猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推翻它，这是数学探究性学习完成对所学知识的有意义建构的重要环节。建构性学习认为学习者要达到对事物所反映的性质、规律以及该事物与其他事物间联系的深刻理解，最好的办法就是让学生到现实世界的真实环境中去感受、去体验（通过获得直接经验来学习），而不是仅仅聆听监视或其他人的介绍和讲解。因此教师在证实与证伪阶段，要运用一定的教学策略或教学模式，创造条件使学习者积极参与假设检验的设计，进行数学实验或其他证明途径的研究。在实验等证明途径的研究过程中，教师要适时引导合作与交流、反思，增强情感的体验，调控探究过程，强化成功的欲望。要避免在假设检验过程中，把设想等同于规律的倾向，假设有时需要反复验证，没有充分的事实，不要轻易接受或推翻假设，以培养务实求真的科学素养。

要重视发现规律，得出结论的过程，使学习者积极思考，进行科学抽象，形成科学解释。在验证假设的过程中，通过数学实验、思维推理等，对所学的知识和事实进行分析和判断、解释和应用。用数学术语、图表等形式加以系统化、简明化、概念化，是探索者思维方法的学习和思维水平提高的表现，也是学习者对知识完成意义构建的关键。“发现规律，得出结论”是培养学生科学抽象，包括表征性抽象和原理性抽象的活动过程。表征是有机体对外界信息进行加工时（输入、编码转换、贮存），客观事物在头脑中的呈现形式，包括用语言表征、图象表征、数字表征、实验表征等。在科学抽象过程中需要运用比较、分类、归纳、概括、分析和综合等一些科学逻辑方法，有时候运用模型化方法，特别要从宏观和微观的结合上进行学习与思考，才能真正实现“意义建构”，发现规律和结论。

4.评价与交流应用

学习者获取知识，完善自己的认知结构，整合迁移环节是必不可少的。教师要创设教学情境，启发学生整合知识，反思探究过程和方法，变换问题的思考角度和方式，将结论迁移运用于不同的场合，增强思维的发散与集中，以达到知识完全意义的建构。

学生完成知识意义建构不能通过教师传授实现，而是学习者在一定的学习环境下，通过教师或同伴的帮助，人际间的协作，讨论交流等活动而建构的。美国哲学家约翰·密尔说过：天才只能在自由的空气里自由自在地呼吸，讨论是创造的“助产婆”。在探究教学过程中，以课程学习中提出的问题展开，以解决问题为结束。协作、交流、表达贯穿于每个环节的活动之中，学生通过探究过程的讨论与交流，以书写探究报告、制作模型、辩论和展览等形式，可以形成一个有利于人际沟通与合作的良好氛围，发展乐于合作，分享信息和成果的团队精神，这也是现代人所应具备的基本素质，在交流过程中，鼓励学生发表自己的见解，明确某种看法，提出探究结论，认真听取他人的意见，积极参与辩论，理智坚持己见，尊重客观事实，敢于修正自己的错误观点，提高自己的认识，形成气氛活跃、开放、民主的师生、生生间多向知识信息传递和交换的“立体式”、“变动式”教学格局。

疑问是研究性学习的开端^[16]——数学研究性学习一案例

透过走廊上开着的窗户看到，李莉和王颖正在争论着，“我不是说你做的不对，只是图未正确做出”，“没有必要将图严格做出吗！题目中已知条件说三角形是存在的，画一个草图，将题目证出就行了”，“我也是这样做的，但图未做出，我心里总感到不踏实”。

我走进教室，李莉和王颖来到我的面前，递给我一份杂志，指着上面的一道问题，对我复述了他们争论的内容，翻翻杂志的封面，是《数学通报》2001年第11期，问题是第1341数学问题：锐角三角形ABC中有内接△DEF，且FD⊥BC于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，求证：S△ABC≥3S△DEF。

我在市一重点中学担任数学选修课《数学思想方法》的教学，我们班级是由全校高二年级8个班每班选取6位较好同学组成，每两周进行一次。李莉和王颖的疑问具有一定的代表性。疑问是研究的开端，是进行研究性学习的好契机，能否抓住这一疑问，来开展一次研究性学习呢。

上课铃响了，我临时决定，以这一疑问为契机，先试一试研究性学习的教学。

1.呈现问题背景

图7-10

李莉和王颖同学被请上讲台，各自阐明自己的观点。同学们马上就被问题吸引了，赞成李莉观点和赞成王颖观点的同学约各占一半，但几乎所有的同学都拿出纸、笔，动手画了起来，很快就发现问题所在：画一锐角△ABC，如图7-10，按题设条件，作AK⊥BC于K，点F在AB上，DF⊥BC，故D一定在B、K之间，在BK上取一点P作PQ⊥AC于Q，作PM⊥BC交AB于QM，作QN⊥AB于N若M与N重合，则△PQM为所求。

2.明确问题

问题1　若M与N不重合，满足题设条件的△DEF存在吗？若存在，怎样作出呢？

3.提出假设

经过一段时间的探索，张强同学首先举起手来，从他脸上欣喜的笑容，可以感受到，他已找到了解决的方法。张强上黑板，边画边说出了如下解决方法：

（1）如图7-11，作AK⊥BC于K；

（2）在BK上取一点P，作PQ⊥AC于Q，作PM⊥BC交AB于M，作QN⊥AB于N；

（3）设PM与QN（或其延长线）的交点为T，连结TC，设TC（或其延长线）与AB的交点为F；

（4）过点F作FE//TQ交AC于E，过点F作FD//TP交BC于D，连结ED。则△DEF为所求。

图7-11

4.检验假设

当张强将图画完后，一部分同学马上就明白了，纷纷表态说，张强画法正确。但陈平同学认为，你不能说这样画就可以了，要说一说这样画的道理啊。

马俊同学举手说：“我可以证明”，马俊同学上黑板写下了如下证明：

证明　由作法知，FE//TQ，∴△CEF∽△CQT，

∴CE∶CQ=CF∶CT，

又FD//TP，∴△CFD∽△CTP，CF∶CT=CD∶CP，

∴CE∶CQ=CD∶CP，

∴DE//PQ，即DE⊥AC。

△DEF为满足题设条件的三角形。

问题1解决了，我看了一下时间，整个过程大约花了半个小时，正准备继续讲课，李珊珊同学举起手，提出了又一个问题。

问题2　满足题设条件的三角形有多少个？

教室里讨论热烈，一会儿，几位同学举起手来，其中有桑小华同学，桑小华是校是学校学生会宣传部长，文笔特好，已有散文、小小说在报刊上发表，但数学不是特长，能主动回答问题，真不容易，请他回答。桑小华同学说：“这个问题，利用图7-10可以说清楚，我们已经作出了满足条件的△DEF，对图7-11中BK上的任一点P，若P在B、D之间，作PM⊥BC交AB于M，则M在B、F之间，PQ⊥AC于Q，则E在C、Q之间，QN⊥AB于N，则N在F、A之间，所以M与N不可能重合。同理，若P在D、K之间，M与N也不可能重合。故满足题设条件的△DEF只有一个。”

在我的建议下，全班同学为桑小华同学热烈鼓掌。

吸取经验和教训，估计可能同学们还有问题，请同学继续发表自己的看法。

李莉说：从我对这道题的求解过程看，△ DEF还有一些性质，我可以上黑板写吗？

李莉在黑板上写下了：

我们考虑△DEF的性质，因为∠A+∠AQF=90°，∠FED+∠AQF=90°，∠A=∠FED，同理∠ FDE=∠ C，∠ DFE=∠B。于是，△ CAB与△DEF相似，其相似比为

由此，我们得到

性质1 △DEF与△CAB相似，其相似比为cotA+cotB+cotC。

由性质1，利用，并注意等号成立的条件，得到

推论1 S△ABC≥3S△DEF，等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。

第1341号问题得证。

考虑两个三角形的周长，于是有

推论2 ，其中a，b，c是△ABC底三边长，等号当且仅当△ABC是正三角形时成立。

王颖同学说，李莉对△DEF的性质的研究太好了。我的证明过程和李莉的基本一致，但我在思考怎样作图时，因为作不好，我就想了一个偷懒的办法。先画一个三角形作为△DEF，然后过D，E，F分别画三边的垂线，这三条直线围成的三角形记成△ABC，和李莉交流时，李莉认为这个画法她不满意，逻辑上感觉有些不对劲。我是用这个图形证明了问题1341的。

王颖同学上黑板画出图形，全班同学讨论。

号称逻辑专家的彭涛站起来说：我同意李莉的意见，这样作是将因果颠倒，是有逻辑问题。王颖同学听后，思考了一会儿说，彭涛同学说的我听明白了，我是将因果颠倒了。彭涛连忙安慰王颖，若不考虑作图的因果顺序，这两个图是一样的，用你画的图确实可以作出正确的证明。

又有一位同学举手提问：“老师，我将王颖的思路，用到△ABC上，发现可以画两个三角形，这两个三角形又什么性质呢？”

“你提的这个问题，我没有完全听清楚，你能上黑板画一下吗？”我说。

同学画出了如下图7-12，当点D落在点B时，过点B作垂直于BC的直线，过点C作垂于AC的直线，过点A作垂直于AB的直线，设这三条直线围成的三角形为△SUV，若过点C作BC的垂线，过点A作AC的垂线，过点B作AB的垂线，设它们围成的三角形为△XYZ，这个三角形有什么性质呢？

很快就有同学回答出以下解答：

可以看出，△SUV∽△CAB，

图7-12

且可以求得相似比为

同理　△XYZ∽△BCA，且相似比为

所以，△XYZ≌△VSU。

教学进行到此时，学生已经解决了自己提出的所有问题，好一会儿，已经○有学生提出问题了，估计是认为这个问题全部搞清楚了。我感到有必要再启发，不能失去时机，所以特别强调：数学家解题时，一个最大的特点就是尽量追求问题的普遍化，尽可能地把问题推广到更一般的情况，解题不是以问题的目标作为解题的终点，最大的愿望是通过问题的解决能够获得更多的收获。请同学们思考一下，能否作出推广。

经过一段时间的思索，同学之间相互交流，一位同学提出了如下问题：

问题3　注意到在问题1341中，∠ FDB=DEC=∠ EFA=90°，考虑将90°换成α，则会有什么结果呢？

这个问题的解决快多了，同学们将前述解题所获得的经验迁移过来，解决了诸如作图、相似比、性质等一系列问题。如在三角形的边BC上适当选取一点P，作∠ BPM=α，PM与AB的交点为M，作∠PQC=α，与AC的交点为Q，作∠QMA=α，NA与AB的交点为N，PM与QN（或其延长线）的交点为T，连结TC，记TC（或其延长线）于AB相交于F，过F点作TP、TQ的平行线，分别与BC、AC相交于D、E，可以证明，△DEF为满足条件的三角形。设△DEF已作出，如图7-13，

满足∠FDB=DEC=∠EFA=α的△DEF有什么性质呢？

图7-13

显然，∠DEF=∠A，∠FDE=∠C，∠EFD=∠B，所以，仍然有，△DEF与△CAB相似，

再来求相似比。

于是，得到

性质2　锐角三角形ABC中有内接△DEF，满足∠FDB=DEC=∠EFA=α，则△DEF与△CAB相似，相似比为sinα（cotA+cotB+cotC）+cos。α

进而得到问题1341的推广定理。

定理　锐角三角形ABC中有内接△DEF，满足∠FDB=DEC=∠EFA=α，

当α=时，定理变为了问题1341，所以，定理确为问题1341的推广。

同学们将上述结论书写出后，我高兴万分，同学们脸上也挂满了笑容，他们从中品尝到成功的欢愉，这节研究性学习课的研究目的达到。