如何在低、中年级的解决问题教学中培养学生的应用图式意识？

1.培养学生应用图式意识在问题解决中具有重要意义

应用图式意识指的是学生在解决数学问题时如果遇到了困难，会不会选择数学模型或画图辅助自己思考，也就是会不会利用几何直观的思想或是有没有应用几何直观的意识。很多较为复杂的问题往往依托于画图就解决了。学生面对数学问题能够想到用图式解决，是学生形成几何直观这一数学能力的开端。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，要使学生能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。而在教学中我们经常发现，学生在解决问题、探究规律时感觉有较大困难，往往束手无策。在众多的解题策略中，应用图式是其中最基本、最重要的策略之一。美国教育家格兰特·斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图像，那么就整体地把握了问题。”低、中年级学生正处于具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，面对一个较复杂的数学问题，需要直观的手段加以辅助，从而形成清晰的数学逻辑，帮助自己进行数学推理与思考。

小学生几何直观这一数学能力的形成不仅仅依托“图形与几何”这一领域，还需要“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”这三大数学领域的合力培养，从不同的数学领域出发，向相同的培养目标——初步形成和感受几何直观的作用前进，使学生获得的数学经验的来源更加多元化，从而达到学以致用、提高学生的核心素养的最高目标。因此小学阶段，尤其在低、中年级数学教学中，应该特别重视学生几何直观意识的培养。

2.学生应用图式意识有待提高

我们之所以确定这个关键问题是源于课堂观察和调研，是因为我们走进课堂听课时经常会发现这样的情况：学生在遇到不会的数学问题时多半选择放弃或者根据已知信息凭感觉列式计算。在一些已知条件比较复杂、逻辑关系不容易厘清的问题中表现更是如此。不少学生宁可托着下巴冥思苦想，也没有想到画一画图，或者尝试用其他的方法试一试。可见他们缺少对数学过程的多角度思考，不会将一些已知条件用一些形象的图式表示出来，更没有在试探中寻找解题思路的行为。虽然课上老师多次提醒学生画图，但他们却不为所动。这引起我们的深思，为什么学生不画图呢？借助图形描述和分析数学问题，就会使其变得简单形象，学生为什么不主动去用？是没想到画还是不会画，抑或是不愿意画？学生的几何直观素养到底处在什么样的状态？基于以上思考，于是我们开展了调研。

以三年级为例，通过访谈在解决问题过程中没有画图的学生，我们归结为三点：①没想到用画图方法的占37.5%；②没有感受到画图可以辅助思考，索性不画的占56.2%；③会做，不愿意画的占6.3%。

分析数据发现，低年级的学生缺乏用图形描述、表达研究对象的意识。学生在遇到困难时根本没有想到应用图式思考问题，这说明教师在关注、培养这一核心素养上做得不够，学生的几何直观能力属于自生状态。

从应用角度分析，学生先要有利用图形描述问题的意识，才能在运用的过程中理解、分析、发现问题，进而解决问题，体验到把抽象变直观的好处，不断积累经验，发展几何直观素养。也就是说，要想使学生熟练地形成并运用几何直观，除了要掌握具体的使用技巧之外，还需要加强一种反映内心的应用意识的培养。因此教师应该把培养几何直观的意识放在首位。只有使学生真正意识到几何直观是有作用的，它可以帮助自己理解、思考、解决数学问题时，才能使他们在解决数学问题时更愿意使用，从而真正地发挥几何直观的价值。而学生的主动性的建立归根结底要依托事物本身应用的价值。

3.课堂中不利于培养学生应用图式意识的现象还普遍存在

首先是教师的数学教育观陈旧。有学者指出，学习数学知识的步骤应从直观感知入手，加以操作确认、思辨论证，从而达到度量计算的最终目标。有些教师的课堂教学，为了赶进度、赶时间，教学经常缺少前两个步骤，学生没有从感知中获得经验，也没有从操作中积累感悟，而是直接跳跃到求证阶段。教师在实际教学中忽略了许多可以培养几何直观的机会。

其次是教师缺乏培养学生应用图式意识的策略。在低年级的教学中经常会出现这样的情况：教师单方面要求学生去动手操作、画图，导致学生不知道为什么这样做，与研究的问题有什么关系；没有使用图式的需求感，导致其主动思考问题的意识不强，降低了应用图式理解问题、解决问题的价值体验。这样反而可能引发课堂学习秩序等负面问题，使得老师越来越不愿意让学生通过动手操作学具来直观地学习，疏于培养学生应用图式的意识。

再次是教师对使用图式解决问题的目的、意义认识不清。在学生没有使用图式辅助自己思考而顺利地解决了问题的情况下，教师强迫学生必须使用图式，这就使得学生容易产生逆反心理，失去应用图式的兴趣。

最后是教师对画图“规范性的”过分的苛求，使学生渐渐对画图失去兴趣。有时在教学中，教师会对学生画出的图不断提出更高的要求，这个画得太复杂、那个画得不够标准等，最终呈现出自己绘制的更“完美”的图，扼杀了学生用数学图式来表达其理解过程的积极性。

基于以上思考，将如何在低、中年级的解决问题教学中培养学生的应用图式意识作为一个教学关键问题。

案例ZG-4-1：《在解决问题中体验应用图式的乐趣》（《11-20各数的认识》，一年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在低中年级的解决问题教学中培养学生的应用图式意识？”

教学内容分析

对数学教学来说，几何直观首先表现为一种意识——面对数学问题能想到借助直观来帮助自己思考。怎样激发学生在遇到复杂抽象的问题时能主动借助直观理解分析问题，是提升几何直观素养的第一步。

本课教学内容为人教版小学数学教材一年级上册第六单元《11-20各数的认识》中的例6解决问题。教学内容是在解决问题的过程中深化对数的大小、数序的理解，加深对基数和序数含义的认识。教材中向学生介绍了多种策略，其中就包含画图的方法。这一教学内容能够使学生体会到“画示意图”是帮助理解题意和解决问题的重要手段，是体现几何直观价值、培养几何直观意识的很好的内容。

学情分析

调研题目：从前往后数，小明排第7个，从后往前数，小明排第8个，这一队一共有多少人？

调研结果：

调研分析

学生缺少把抽象数学信息“图式化”的意识，没有体验到在解决复杂问题时画图所带来的好处，所以缺乏画图的意识和行为。且学生缺少对图式“价值”的了解，就没有应用图式的“热情”。

综合以上分析，把教学关键问题解构为下面两个小问题：

（1）在解决排队问题时，学生有没有应用图式的意识？

（2）在排队问题的教学中，怎样培养学生应用图式的兴趣？

教学目标

鼓励学生借助直观手段解决实际问题，感悟图式的乐趣和优势；创设能激发学生产生画图需求的情境，在画图解决问题的过程中感受图式的价值，强化应用图式的意识。

基本设计思路

创设可以激发学生把问题“图式化”需求的情境，让其经历动手操作和画图描述的全过程，在应用图式学习交流的过程中感悟应用图式的乐趣、优势和价值，强化应用图式的意识。

片段回放

片段一：创设较复杂问题情境激发学生应用图式的意识和兴趣

师：读题，你知道了什么？

生1：我知道了小朋友们在排队，要求两个小朋友中间有几人。

生2：我知道了小丽排第10，小宇排第15。

师：要想解决这个问题，你想怎么办？

生1：求中间有几人用减法，15-10=5（人）。

生2：不对，我数了数是4人。

师：看来大家有不同的想法。这么多信息混杂在一起特别不好理解，要想清楚地表达自己的想法，有什么小妙招吗？

面对复杂的问题情境，学生纷纷提出摆学具、画图的方法来理解，开始有了用“图式”描述、分析问题的意识。教师鼓励学生大胆尝试用直观的图把“第10”“第15”“中间”等关键信息清晰地呈现出来。在学生交流过程中肯定其创造力，让其体验成功的喜悦；引导学生观察对比，培养择优意识，感悟画图的趣味性，激发画图兴趣。

成功解决问题后，组织学生进行心得分享。

师：对于画图，有什么感受想跟大家分享吗？

生：我觉得画图挺有意思的，看着图想问题很方便。

生：刚才我用算式算的是5人，后来画图再一看原来是4人，图能帮助我们检查答案是不是正确。

师：画图确实挺有趣，看着图想问题能让我们的思路更清晰，还能帮助我们检查出错误。你们喜欢这个方法吗？

生：喜欢！

片段二：创设具有认知冲突的问题情境引发学生对图式的需求

1.情境一：小朋友排队做操，奇奇前面有8人，后面有5人，这一队一共有多少人？

学生由于思维定式认为“求一共”就是把“两部分合并在一起”，因此是13人。学生有了争议，产生用“图”验证的需求。

师：怎么验证8+5=13这种算法是错的？

生：我画了一个图：

用△来表示奇奇，他后面和前面的人用来表示，（指着图）这是奇奇，这是前面的8人，这是奇奇后面的5人，问这一队一共有多少人，就是把这三部分合在一起，是14人。

师：听明白了吗？谁还想补充？

生：看图“求一共”不一定就是把“两部分合并在一起”，这道题中给的条件都是以奇奇为标准，他前面的和他后面的人要考虑进去，奇奇自己也要考虑进去。

师：为什么你们都选择画图的方法呢？

生：根据题的意思画出来，就知道奇奇也在这个队伍里，也得算。画图能够帮助我们正确理解题意。

生：我开始算的是8+5=13，同桌说不对，他画的图我数了数确实不是13人，就赶紧自己也画了个图，画完后发现我忘记把奇奇算在内了。

师：画图还能帮助我们检查自己的结果是不是正确，确实很有用！

2.情境二：小朋友排队做操，从前往后数，奇奇是第8个，从后往前数，奇奇是第6个，这一队一共有多少人？

展示资源：8+6=14（人）　8+6+1=15（人）　8+6-1=13（人）。

师：哪个算式正确？谁能说清楚自己的想法？

生：第三个，画图来想。

8+6求的是（边圈边说）这两部分合起来的人数，但看图就能知道，奇奇被数了2次，所以要减1。

师：刚才也是以奇奇为标准给的信息，这次怎么又要减1了呢？

生：看图来想，按照题意来画，这里的“第8”“第6”指的都是奇奇，重复了，所以要减掉1个。

师：这两道排队问题一样吗？你有什么想法？

生：不一样。第一题给出的是奇奇前面和后面的人数，没算奇奇，所以需要把奇奇算上。第二题的描述是“第8”“第6”，把奇奇数了2遍，所以最后得减1。

3.归纳策略。

师：看来，不是所有“求一共”的问题都是列加法算式，那什么时候加1，什么时候减1呢？

生：结合条件来看，画个图分析验证。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生应用图式意识。教师紧紧抓住“低年级学生缺乏画图的意识和兴趣”这一特点分析学情、重点突破，把核心任务分解为两个关键问题，案例活动中较好地解决了这两个问题。

片段一创设了复杂的问题情境，学生通过读题，发现仅靠抽象的思考不易解决问题，产生需要把问题情境“具体化”的意识，萌发了画图的想法。教师通过语言评价、互动交流鼓励学生大胆画图、积累经验。

片段二创设两种不同的问题情境做对比，引发认知冲突。当学生有争议时，鼓励其用图还原题目本来的面目，找到信息与问题间的内在联系，以图思题，深刻感悟到画图的便捷性和必要性，强化画图的意识和兴趣。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）创设复杂问题情境。

低年级学生解决问题时常常看一眼凭感觉就直接列式，再加上习惯于平时简单的数量关系，这让部分学生产生了“见数就加减”的思维定式，根本没有画图的意识和需求。因此，创设贴合生活实际、能激发学生画图需求的“复杂问题情境”是非常有必要的。案例中呈现的问题情境，若读题只停留在文字层面，学生就会出现理解上的“误区”，使思维受到干扰。什么时候加1，什么时候减1，对于一年级的孩子来说很难用语言去表达清楚。面对算式有争论时，大家有了用图说理的意识和需求，质疑的产生推动着大家用图交流、用图验证。

（2）鼓励学生大胆画图。

在探究过程中，应给学生提供独立思考的机会和时间，鼓励其大胆尝试，不断肯定其“创造力”的同时，引导其对比“图式”的意思，发现新的好方法及时拿出来与全班学生分享，将画图方法不断优化，在观察对比中感悟到画图的便捷性和必要性，积累方法和经验。学生大胆尝试后发现，图式能够把复杂问题变得简单、好理解，并成功解决了问题。这种愉快的体验强化了其应用图式的意识，使其喜欢上了这个方法。

（3）重视有效互动交流。

在交流过程中，引导学生对比“图式”的意思，表达出自己借助直观解决问题的真实感受，在分享中强化了应用图式的价值。此外，以图思题激活了学生的思维，在直观中获得感性知识，在抽象中概括事物的本质特征，最后归纳出不同的解题思路。课堂为学生构建了一个平等自由的对话平台，使其处于积极、活跃、自由的状态，在交流中充分地表达、争辩，将自己的数学思想用直观的图和数学语言清晰地表达出来，对画图有了更深的感受和体会，大大提升了画图的乐趣。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　李繁　吴梅）

案例ZG-4-2：《实践中体会价值，埋下一颗应用图式的种子》（《面积》，三年级）

本案例要解决的教学关键问题是“如何在低、中年级的解决问题教学中培养学生应用图式的意识”。

教学内容分析

“培养学生应用图式的意识”是培养学生几何直观能力的重要部分，意识是一种心理倾向。应用图式的意识就是学生能够感受到图式可以让复杂的问题变得更直观，感受到图式的价值，从而积极主动地应用图式去理解、分析和解决问题。

本课教学内容为人教版小学数学教材三年级下册第五单元《面积》中的课后练习题。该题目需要学生明确区分平面图形的两个重要概念——周长和面积，并探究出它们之间的规律。以上内容对学生来说有一定难度，书上呈现了利用方格图的方式探究抽象规律的方法，因此本课是体现几何直观价值、培养几何直观意识很好的内容。

学情分析

调研题目：从一张宽6厘米的长方形纸上减去一个最大的正方形，剩余部分的面积是12平方厘米，原来长方形纸的长是多少厘米？

调研结果：

续表

调研分析

在解决一道比较复杂的图形与几何的问题时，只有30%的学生能够主动画图。其中只有6人能够正确画出与题意相符合的图。剩下的70%的学生遇到复杂问题时缺少画图的意识。通过访谈，2人表示不会画图；9人表示画图太麻烦，不画图也可以做出来，进一步询问，发现这9人实际上在脑海中也是有示意图的；还有10人理解题意错误。调研结果说明了学生没有充分感受到遇到复杂问题时利用图式解题的优越性，因此缺乏应用图式解决问题的意识和热情。

综合以上分析，把教学关键问题解构为以下两个小问题：

（1）在解决关于图形与几何的问题时，怎样使学生感受到应用图式的乐趣？

（2）怎样使学生对图式产生需求感，感受图式的价值？

教学目标

通过在方格纸上围、画长方形解决实际问题的过程，强化对基本图形——方格纸的运用；培养应用图式去发现问题、描述问题、理解抽象计算方法的能力；体会到应用图式分析问题、解决问题的价值，提高应用图式的意识。

基本设计思路

创设围菜地的开放式问题情境，在借助直观操作，探究规律的过程中，体会利用方格纸画图思考问题的优势。在组织学生自主探究新问题时，使学生产生运用方格图思考的需求，再次感受图式的应用价值，从而培养应用图式的意识。

片段回放

片段一：借助直观操作，探究周长相等的情况下，当长和宽越接近时，其面积越大（不靠墙）

师：王爷爷用16米的篱笆围出一块长方形或正方形菜地，面积最大是多少平方米？

教师提供学具，学生自主探究。

（展示学生资源）

生1：我们是按照宽从短到长的顺序，先围一个宽是1厘米的图形，算出长为7厘米，以此类推，分别可以围出宽和长分别为2厘米和6厘米、3厘米和5厘米、4厘米和4厘米的。它们的面积是7平方厘米，12平方厘米，15平方厘米，16平方厘米，所以这块菜地面积最大时是16平方米。

师：你对他们的想法有什么想说的？

生：这位同学思考的时候有顺序，他围图形的时候宽是按照从小到大的顺序，这样就可以不重不漏。

师：结合围出的图形和记录的数据，你有什么发现吗？

生：当长为7厘米、宽为1厘米时，围出的图形是一个细长的长方形（指图），当长和宽都变成4厘米时，就围出了一个正方形。很明显正方形的面积最大，所以我得出结论：当长和宽越来越接近时，围出的图形面积越大，当围成正方形时，面积最大。

师：老师发现一些同学在解决问题的过程中都用了学具来围一围，这样做有什么好处呢？

生：方格纸一个小格的边长就是1厘米，围起来方便又直观，画完之后直接数一下面积就可以了，不用列算式了。

生：在方格纸上围完长方形之后，一眼就可以看出正方形的面积最大。

师：看来结合方格图很直观地发现了长与宽之间的变化，帮助我们发现规律。

片段二

1.借助图式，探究长度一定的情况下面积何时最大（一面靠墙）

师：再想一想篱笆长度不变，一面靠墙，怎样围菜地面积最大？

呈现学生资源（100%学生主动借助方格纸研究）

师：请这两位同学指着图说一说自己的想法。

生1：我用来表示墙壁，于是就剩下三条边需要围篱笆，按照顺序确定宽的长度分别为1厘米、2厘米、3厘米，以此类推，然后再数方格画出长，最后计算出面积，就可以了。

生2：我画了两个图之后发现这道题只用三条边围，分别是两条宽边，一条长边（学生指图），通过观察图也能知道长=16-宽×2，于是就可以求出长，然后就可以求出面积了。

师：我发现你们在研究时都主动应用了方格纸，这是为什么呢？

生：这次的题目有一边靠墙，比较复杂，我一边画一边就有思路了。

生：通过画图可以帮助我找到篱笆长与长方形长、宽之间的关系，找到关系后就可以直接列算式了。

2.借助图式，理解宽是长的一半时，面积最大的规律

师：你们有什么发现吗？

生：我发现宽是长的一半时，围成的图形面积最大。

生：为什么这个规律和刚才的不一样？

师：如果把你们画的图的另一半给补全，你又发现了什么？

生：是一个正方形！太神奇了！

师：当我们把图补全后，就符合了第一道题的规律，当周长一定时正方形面积最大，那它的面积的一半肯定也是最大的。

师：对画图这件事，你有什么想法吗？

生：开始我不明白这是怎么回事，有了图我一下子就明白了原因，我觉得画图能帮助我理解。

深度思考

本案例的核心任务是培养学生应用图式意识，核心任务被解构为两个关键问题，本案例中的活动较好地解决了这两个问题。

在片段一中，教师为学生创设了开放的问题情境并提供了丰富的学习用具，让学生在应用图式的氛围中展开想象，发现不同的围法，体会应用图式的乐趣。

在片段二中，教师创设了更加复杂的问题情境，使学生产生动手操作的需求，并在学生产生认知冲突时，利用直观操作帮助他们解惑，使他们再次感受到了应用图式的价值。

深入分析本案例，在解决教学关键问题时主要采用了以下方法。

（1）提供丰富的学习用具，在操作中体验。

美国教育家格兰特·斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么就整体地把握了问题。”学生一旦能用图形把一个实际问题描述清楚，就可以使复杂的问题直观和简单化。为了唤起学生应用图式的兴趣，教师在课堂上为学生提供了多样的学习用具，如方格纸、绳线、图钉等，为学生创造了应用图式的氛围。学生借助学具在画一画、摆一摆的动手操作中展开形象思维，发现不同的围法，体会到应用图式的乐趣。

（2）教师创设开放的、较复杂的问题情境。

在课程之初，教师创设围菜地的情境：“王爷爷用16米的篱笆围出一块长方形或正方形菜地，面积最大是多少平方米？”开放性的问题情境自然引发学生动手操作的需求，体会利用直观图式解决问题的价值。当学生探究出规律后，教师提出了新的情境——“当一面靠墙时，怎样围篱笆面积最大呢？”这一更加复杂的问题情境提升了思维难度。有了前面直观动手操作的基础，学生自然而然产生了再次利用方格纸画图的需求。

（3）及时组织学生分享感受。

教师在每次活动过后，能够及时抓住学生的课堂资源，在师生交流的过程中通过问题引导学生说出自己在应用图式时的真实感受，如在方格纸上画图具有直观的优点，并能帮助自己发现以及理解规律等，在交流分享中再一次强化了应用图式的价值，从而培养学生应用图式的意识。

（4）充分利用生成资源。

学生亲身经历的感受比听取其他同学分享要来得深刻。当探究出第二种规律后，学生产生认知冲突：“为什么第二道题的规律和第一道题不同？”此时教师利用图式直观演示，帮助学生解惑，在这个过程中让学生亲身体会图式的直观性，也是对应用图式价值的再次感受。

（案例撰写人：北京市朝阳区白家庄小学　张瑶　吴梅）