叶片泵设计数值数值计算方法概述

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数的物理意义明确，是目前流动与传热问题数值计算中应用最广泛的一种方法。有限体积法是目前流体流动和传热问题求解中最有效的数值计算方法，已得到广泛应用。

常用的数值方法有：有限差分、有限元、有限体积、边界元、谱元等。从上面的分析看到，CFD模型（控制方程）是一系列偏微分方程组，要得到解析解比较困难，目前，均采用数值方法得到其满足实际需要的近似解。

数值方法求解CFD模型的基本思想是：把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限个离散点（称为节点）上的值的集合来代替，通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关系的代数方程（称为离散方程），求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似解。在过去的几十年内已经发展了多种数值解法，其间的主要区别在于区域的离散方式、方程的离散方式及代数方程求解的方法这三个环节上。目前，在商用软件中常用的是有限体积法和有限元法。下面简要介绍几种常用方法。

1.有限差分法

有限差分法是一种较经典的算法，其基本原理是泰勒（Taylor）级数展开方法，有限差分曾是求解复杂偏微分方程的最主要的数值计算方法。有限差分法用差商代替微商，用计算区域网格节点值构成差商，近似表示微分方程中各阶导数。例如

式（1.1-7）为一阶向前差分，类似的还有一阶向后差分

或中心差分

将表示流场变量一阶导数和二阶导数的差商近似式代入微分方程，就可以得出关于网格节点处的差分方程。求解这一组代数方程组，可得到节点处的流场变量数值解。

有限差分形式简单，对任意复杂的偏微分方程都可以写出其对应的差分方程。但获得差分方程是通过以差商代替微分方程中的微商实现的，微分方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律在差分方程中并未体现。因此具有不同流动或传热特征的实际问题在微分方程中所表现的特点，在差分方程中没有得到体现。因此差分方程只是对微分方程的数学近似，并未反映其物理特征，因而差分方程的计算结果可能得不到反映物理本质的某些现象。

2.有限体积法

在有限体积法中将所计算的区域划分成一系列控制体积，每个控制体积都有一个节点作为代表，通过将守恒型的控制方程对控制体积作积分来导出离散方程。在导出过程中，需要对界面上的被求函数本身及其一阶导数的构成做出假定，这种构成的方式就是有限体积法中的离散格式。用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性，而且离散方程系数的物理意义明确，是目前流动与传热问题数值计算中应用最广泛的一种方法。

有限体积法是在有限差分法的基础上发展起来的，同时它又吸收了有限元法的一些优点。有限体积法生成离散方程的方法很简单，而且积分方程具有清晰的物理意义。例如，一维稳态对流扩散方程的有限体积法离散方程的出发点为

式（1.1-10）左边表示控制体的对流量，右边表示控制体的扩散量。把方程改写为

式（1.1-11）表征稳定状态时通过控制体的对流量与扩散量总和为零，即通量平衡。因此，有限体积法推导其离散方程时是通过控制容积中的积分方程作为出发点，这一点与有限差分法直接从微分方程推导是不同的。另外，有限体积法获得的离散方程，物理上表示的是控制体的通量平衡，方程中各项具有明确的物理意义，这也是有限体积法与有限差分法和有限元法相比更具优势的地方。有限体积法是目前流体流动和传热问题求解中最有效的数值计算方法，已得到广泛应用。

最早的基于有限体积方法的商用CFD软件是英国帝国理工学院的Spalding教授所研发的Phoenics软件，其他常用的采用有限体积法的软件有CFX、Fluent和STAR-CD等，它们在流动、传热传质、燃烧等方面应用广泛。(https://www.chuimin.cn)

3.有限元法

有限元法是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。最初被用于固体力学问题的数值计算，如杆结构、梁结构、板、壳等的受力与变形问题。20世纪70年代在英国科学家Zienkiewicz O.C.等人的努力下，将它推广到各类场问题的数值求解，如温度场等、电磁场等，也包括流场。

在有限元法中把计算区域划分成一系列单元体（在二维情况下，单元体多为三角形或四边形），在每个单元体上取数个点作为节点，然后通过对控制方程做积分来获得离散方程。它与有限体积法的区别主要在于如下两点：

1）要选定一个形状函数（最简单的是线性函数），并通过单元体中节点上的被求变量之值来表示该形状函数，在积分之前将该形状函数代入到控制方程中去。这一形状函数在建立离散方程及求解后结果的处理上都要应用。

2）控制方程在积分之前要乘上一个权函数，要求在整个计算区域上控制方程余量（即代入形状函数后使控制方程等号两端不相等的差值）的加权平均值等于零，从而得出一组关于节点上的被求变量的代数方程组。

有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序。因此，有限元法在固体力学方面获得了极大的成功，但在流体流动和传热方程求解过程中却遇到了一些困难，原因可归结为按加权余量法推导出的有限元离散方程也是对原偏微分方程的数学近似。当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩等条件方面的要求时，有限元离散方程中各项还无法给出合理的物理解释，对计算中出现的一些误差也难以进行改进，所以在流体流动和传热问题的应用中还存在问题。

有限元法的最大优点是对不规则区域的适应性好，但计算的工作量一般较有限体积法大，而且在求解流动与换热问题时，对流项的离散处理方法及不可压流体原始变量法求解方面没有有限体积法成熟。

目前，Ansys、Abaqus和LS-DYNA等有限元软件比较流行。

4.边界元法

边界元法是20世纪后期针对有限差分法和有限元法占用计算机内存过多的缺点发展起来的一种求解偏微分方程的数值方法，其最大优点是降维，只在求解区域边界进行离散就能求得整个流场的解。因而，三维问题降维为二维问题，二维问题降维为一维问题，从而利用较小的计算资源就可以求解大的问题。边界元法的思想不复杂，用边界积分方程将求解域的边界条件同域内的待求点变量值联系起来，然后求解边界积分即可。只是边界积分方程的导出较复杂。

一般地，边界元法由于降维使得占用的计算机资源较少，计算精度较高，更适合大空间外部绕流的计算，尤其是无黏流的计算采用边界元法有一定的优势。但是，如果面对的描述方程比较复杂，如黏性N-S方程，权函数算子基本解不一定能找到，从而限制了边界元法的应用。

综上所述，有限体积法在控制体上具有守恒特性，而且每一项都有明确的物理意义，从而离散时对各项可以给出一定的物理解释。而且区域离散的节点网格与进行积分的控制容积分立，使得整个求解域中场变量的守恒可以由各控制容积中特征变量的守恒来保证。正是由于有限体积法的这些特点，使其成为当前求解流动和传热问题的数值计算中最成功的方法，已经被绝大多数工程流体和传热计算软件采用。

下面以有限体积法为例，简要介绍求解的基本过程。

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