同一维类似，基本系统分类如下。从连续到数字转换的一个重要函数是冲激函数或δ函数，在二维情况下可写成：凡是不满足叠加性或齐次性的系统属于非线性系统。本书中讨论的都是线性时不变系统模型。根据卷积性质，若系统对输入图像就进行了线性运算H后将得到输出图像，结合线性系统叠加性和齐次性，可得如下表达式：可分离性质δ=δ（x-α）δ（y-β） 尽管δ函数并不是普通意义上定义的函数。......
2025-09-29
二水源TVGM模型结构及应用实例
【摘要】：传统TVGM模型结构简单，水源单一，仅考虑了地表径流对降雨的快速响应，在地下径流比重较小的地区能得到较好的发展和应用。二水源TVGM在原有的两个产流参数g1、g2的基础上，增加一个地下产流参数g3，既继承了传统TVGM参数少，结构简单的优点，又完善了模型结构，使计算结果更符合实际的水文过程，并将其应用到淮河流域洪水预报中。二水源时变增益模型结构流程图及原理如图3-1-1所示。
1.TVGM的提出
时变增益模型TVGM由流域产流模块和汇流模块两部分组成。
在产流模块中，有效净雨R表达为降雨X和系统增益G之积
显然，系统增益G（t）的水文概念为流域的产流系数（0≤G（t）≤1.0）。通过对世界多个不同流域的水文长序列资料分析，夏军发现水文系统增益因子并非常数，而是与土壤湿度有关系，为时变增益因子。
如果缺乏土壤含水量资料，流域土壤前期影响雨量（API）是一个较理想的替代指标。水文时变增益因子G（t）与流域前期土壤影响雨量API（t）之间的关系可以简单的表达为
或者将式（3-2-2）进行泰勒展开，可进一步将表达式简化为
式中 g1和g2——时变增益因子的相关参数；
API（t）——可采用单一的线性水库系统进行模拟，即：
式中 Ke——与流域蒸发和土壤性质有关的滞时参数，一般约为系统记忆长度m的某个倍数。系统记忆长度通常与流域面积、流域坡度等有关，可通过经验分析确定。
将式（3-1-3）代入式（3-1-1），可得：
或
只要给定参数（g1，g2）和Ke便可由毛雨量计算净雨量。
在流域汇流模块中，即使采用了简单的响应函数模型，即
式中 U（τ）——系统的响应函数。
从理论上可以证明：降雨径流的系统关系是非线性的。因为将式（3-1-6）代入式（3-1-7）可导出典型的Volterra非线性积分方程
式中 H1（t-τ）=g1U（t-τ）；
H2(t-σ，t-τ)=g2U0(t-σ)U(t-τ)；
m——记忆长度；
τ和σ——与时间积分有关的变量。
式（3-1-8）的系统分析表明，引入时变增益有关概念，能够使得过去比较复杂的水文非线性系统模拟，即Volterra非线性泛函级数模拟，可以用一种水文系统概念性的简单模型（TVGM）来实现，二者之间有内在联系。不仅如此，夏军的进一步研究表明，该模型容易实现校正作业，也容易扩展到非线性季节扰动的水文系统。通过实际资料检验，TVGM非线性模型预报效率要明显优于线性水文系统方法。
2.TVGM的发展——二水源TVGM
河道洪水包括地表径流和地下径流，在我国湿润、半湿润地区，地下径流含量能达到总径流的20%～40%。洪水预报模型中，地下径流的模拟在提高洪水预报精度，改善水资源管理，及加强后期枯季径流退水都起着至关重要的作用。传统TVGM模型结构简单，水源单一，仅考虑了地表径流对降雨的快速响应，在地下径流比重较小的地区能得到较好的发展和应用。但在湿润、半湿润地区，往往出现模型计算洪水过程退水过速，地下径流偏小。二水源TVGM在传统TVGM基础之上，增加地下径流模块，发展并提出了多水源时变增益模型。二水源TVGM在原有的两个产流参数g1、g2的基础上，增加一个地下产流参数g3，既继承了传统TVGM参数少，结构简单的优点，又完善了模型结构，使计算结果更符合实际的水文过程，并将其应用到淮河流域洪水预报中。二水源时变增益模型结构流程图及原理如图3-1-1所示。图中方框外为参数，方框内为模型计算原理及公示。输入为实测降雨量过程P（t）；输出为流域出口断面流量过程Q（t）。
图3-1-1 二水源时变增益模型结构流程图
（1）二水源TVGM产流模型。在产流计算中，流域总产流量划分为地表产流量Rs和地下产流量Rg两部分。其中，地表产流量描述为地表产流因子与实际降雨的乘积关系。
式中 Gs（t）——地表产流因子；
X（t）——实际降雨过程；
Rs（t）——地表产流过程。
地表产流方式仍采用时变增益的思想，即：
将式（3-1-10）代入式（3-1-9），可得：
或
只要给定参数（g1，g2）和Ke便可由实测毛雨量计算地表净雨量。
地下产流模块中，由于API在一定程度上代表土壤含水量，因此，地下产流量Rg采用地下增益因子g3与土壤前期影响雨量API之积表示，参数简单，方便合理。
式中 g3——地下产流系数，与流域下垫面特性有关，如土地利用方式。
因此，总产流量R即为地表产流量Rs与地下产流量Rg之和：(https://www.chuimin.cn)
将式（3-1-10）、式（3-1-11）、式（3-1-13）代入式（3-1-14）中，可得总产流量的计算公式为：
（2）二水源TVGM汇流模型。在二水源时变增益模型中，地表汇流可采用经验单位线或Nash瞬时单位线进行汇流计算，Nash瞬时单位线的公式为
式中 n——反映流域调蓄能力的参数，相当于线性水库的个数或水库的调节次数；
K——线性水库的蓄泄系数，具有时间因次；
Γ（n）——Γ函数，即
由于直接净雨过程很难用一个连续函数来描述，常用离散形式来表达，因此在实际工作中一般不直接应用瞬时单位线推求流域出口断面的流量过程。通常的处理方法是先把瞬时单位线u（0，t）转换为S（t）曲线，然后再用S（t）曲线推求无因次时段单位线u（Δt，t），最后再把无因次时段单位线u（Δt，t）转化为时段单位线q（Δt，t）。借助时段单位线即可推求出流域出口断面流量过程。其中，Δt为输入降雨、径流数据的时间间隔。
Nash单位线时间无量纲后的S（t）曲线如下：
根据水量平衡原理，瞬时单位线和时间轴所包围的面积应等于1个水量，即：
因此，在求解S曲线时，当S（t）≥0.9999时，可停止计算，并将此时的t记作Tn，即单位线的历时。
将S（t）曲线进行如下转换可得无因次时段单位线：
于是可得到时段为Δt，净雨深为1mm的有因次时段单位线：
式中 F——流域面积，以km2计；
q（Δt，t）——有因次时段单位线。
若Rs（t）为地表净雨过程，则Rs（t）与时段单位线q（Δt，t）的离散卷积公式为：
式中 TQ——地表径流历时；
Th——净雨历时；
Tu——单位线历时。
只要确定瞬时单位线参数（n，K），即可计算流域出口地表汇流量。
由于地下水的水面比降较为平缓，可认为其涨落洪蓄泄关系相同，则地下径流的水量平衡方程和蓄泄关系可表示为
式中 Ig，Eg——地下水库的入流量和蒸发量；
Qg——出流量；
Wg——地下水库蓄水量；
kg——蓄泄常数，反映地下水的平均汇集时间。
将上式离散化处理可得
式中 Qg1，Qg2——时段始、末地下径流出流量，m3/s；
— —时段内地下水库的入流量，m3/s；
——时段内地下水库的蒸发量，m3/s；
Δt——计算时段，h。
令KKG=
=1-KKG，故上式可改写为
若时段内的地下净雨深为Rg，则有
式中 F——流域面积，km2；
3.6——折算系数；
其余符号意义同上。
将式（3-1-24）代入式（3-1-23），即可得线性水库地下汇流的计算公式：
式中 U——折算系数，即
只要确定线性水库参数KKG，即可计算流域出口地下汇流量。
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